¿Hay algún tipo de local-global principio de Galois grupos? Por ejemplo, dado un polinomio $f \in \mathbb{Q}[X]$, y suponiendo que conocemos $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q}_p)$ a todos los números primos $p \le \infty$, ¿qué podemos decir acerca de la $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\newcommand\cO{\mathcal{O}}$ $\newcommand\fp{\mathfrak{p}}$ $\newcommand\Q{\mathbb{Q}}$ Sí, los hay. Deje $K$ ser su división de campo de más de $\Q$, denotan su anillo de enteros por $\cO$, y el grupo de Galois por $G$. Para cualquier racional prime $p$, arreglar un primer $\fp$$\cO$$p$. Denotar por $D_{\fp}$ el subgrupo de $G$ que corrige $\fp$. Esto se llama la descomposición grupo de $\fp$. A continuación, $D_{\fp}$ se identifica con el grupo de Galois de la finalización de $K$$\fp$$\Q_p$, que es precisamente el grupo de Galois de $f$ $\Q_p$ (por encima de los números primos $p$ todos los $G$-conjugado a cada uno de los otros, por lo que los grupos $D_{\fp}$ son todos conjugada, y, por tanto, bien definido hasta la isomorfismo, y, de hecho, hasta el interior automorphism de $G$). Así que si usted sabe $D_{\fp}$ todos los $\fp$, entonces usted sabe que muchos de los subgrupos de $G$. Por otra parte, los grupos de $D_{\fp}$ generar todos los de $G$, esto es una consecuencia de Chebotarev densidad del teorema.
Así que sí, se obtiene una gran cantidad de información a partir de las consideraciones locales. Pero usted todavía necesita saber cómo pegar las distintas $D_{\fp}$ juntos para obtener el mundial de Galois grupo.
