¿Alguien sabe de un polinomio irreducible $f \in K[x,y]$ tales que el cociente $K[x,y]/(f)$ no es un UFD? Se sabe cuando este cociente es un UFD?
Gracias.
Respuestas
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Sí, creo que el ejemplo común es tomar $f(x,y)=x^3-y^2$. A continuación, cuando usted mira este es el mismo que el conjunto de polinomios en $K[t]$ sin título-un término. Es decir, las cosas que se parecen a $c_0+\sum_{i>1}c_it^i$, la suma es finita, por supuesto. Usted probar esto mediante la asignación de $K[x,y]$ $K[t]$mediante el envío de $x$$t^2$$y$%#%. Yo voy a dejar a usted para comprobar que el kernel es el ideal generado por a $t^3$, que la imagen es lo que he dicho, y que esto no es UFD.
Theon Alexander
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La cosa es: un UFD $A$ siempre es normal, es decir, cada elemento en su campo de cocientes es parte integral de la $A$ si y sólo si pertenece a $A$. El ejemplo anterior es uno donde la curva correspondiente no es normal, a saber:
$$t=\frac{y}{x} \mbox{ satisfies } t^3=y,$$ pero $t$ sí no pertenecen al anillo.
Una palabra de advertencia, sin embargo: si $f(x,y)=0$ ser suave, entonces el correspondiente anillo es \textbf{localmente factorial}, es decir, su local anillos en todos los maximals son factorial, a pesar de que el mundial de anillo en sí no puede ser: será Dedekind, sin duda, $A$ Dedekind es equivalente a $A$ (Noetherian y) un dominio normal de la dimensión de Krull $1$.
La cuestión de la global factoriality para los anillos de hypersurfaces es muy difícil de responder, aunque usted podrá encontrar interesantes ejemplos en Hartshorne Amplio de la Subvariedades libro (Springer LNM).
MORALEJA: hay Que acostumbrarse a abandonar el concepto de global UFD en la Geometría Algebraica. Una variedad nonsingular en un punto no implica que su anillo local es factorial, pero de lo contrario, esta condición es difícil de concebir geométricamente.
