Definir una Rama Principal en el Análisis Complejo

Question

El problema real es definir una rama principal de $a^z=e^{zlog(a)}$ y para dar una fórmula general. Por lo que entiendo acerca de las principales ramas, ya se en que forma? Me estoy perdiendo algo fundamental acerca de eso. Pero yo también estoy teniendo un momento difícil con la fórmula general. La transición de los números reales, complejos me confunde, ya que "log" es definido como el inverso de a $e^x$, e $e^x$ se define por el poder de la serie. No estoy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

En los números complejos, a diferencia de en el caso de los números reales, la función de $e^z$ no es uno-a-uno. Por lo tanto, no tiene un inverso a lo que podemos llamar "registro". Esencialmente, la dificultad surge del hecho de que $e^{2 \pi i n} = 1$ para cada entero $n$. Por lo tanto, "$\log 1$" podría ser cualquiera de los números de $2 \pi i n$. En general, habrá una infinidad de opciones posibles para el registro de cualquier número complejo distinto de cero, todos los cuales se diferencian unos de otros por un múltiplo entero de $2 \pi i$. Así que cuando hablamos de "$\log z$" a través de los números complejos, tenemos que especificar que la elección que estamos haciendo para cada valor de $z$.

Para definir $a^z$, usted sólo tiene que elegir un valor de $\log{a}$, y, a continuación, defina $a^z = e^{z \log{a}}$, como usted dijo. Dado un valor distinto de cero de a $a$, hay muchas opciones para $\log{a}$, pero una vez que arreglarlo, a continuación, $a^z$ es perfectamente bien definido analítica de la función de $z$ (ya que se puede utilizar la misma elección de $\log{a}$ todos los $z$.) Ningún principales ramas involucradas.

Hay un problema, sin embargo, con la definición de $z^a$. (¿Es esto lo que querías decir?) Ahora usted tiene $z^a = e^{a \log{z}}$, y usted tiene que hacer una selección de $\log{z}$ por cada valor distinto de cero $z$. Hacer una elección al azar para cada valor distinto de cero $z$ produciría un mal comportamiento de la función; la pregunta interesante es si podemos hacer las elecciones de modo que el resultado de la función es continua para todo valor distinto de cero $z$.

Resulta que, por desgracia, que no podemos hacer una elección continua de $\log{z}$ todos los $z \ne 0$. La principal dificultad que puede ser descrito como sigue. Como usted probablemente sabe, cada $z \ne 0$ puede ser escrita en la forma polar $z = r e^{i \theta}$ para los números reales $r, \theta$, e $r>0$. Geométricamente, $r$ es la distancia de a $z$ desde el origen, y $\theta$ es el ángulo desde el positivo de la $x$-eje vector de 0 a $z$. Así, se puede "definir" $\log{z}$ $$"\log{z} = (\log{r}) + i \theta "$$ donde he puesto la ecuación entre comillas porque tenemos que tener cuidado de cómo lo interpretamos.

Primero de todo, ¿qué es $\log{r}$? Este no es un problema: $r$ es un número real positivo, que por lo tanto tiene un único real logaritmo. Definimos $\log{r}$ a ser el real logaritmo de $r$. El problema viene con la parte imaginaria: tenemos un montón de opciones para $\theta$, debido a $0, 2\pi, 4\pi, \ldots, -2\pi, -4\pi, \ldots$, que representan el mismo ángulo. Así que la pregunta se reduce a: ¿se Puede hacer una elección continua de $\theta$ para todos los números complejos $z \ne 0$?

Nosotros no podemos. Digamos que elegir el valor de $\theta=0$ en el punto de $z=1$. Ahora siga el círculo de radio 1 con centro en 0, caminando hacia la izquierda a lo largo del círculo. Ahora, si lo piensas detenidamente, la elección de $\theta$ en cada punto a lo largo de este círculo está totalmente determinado por la elección de $\theta=0$ en el punto de $z=1$, si queremos $\theta$ a de ser continuo. Por lo tanto, en la línea de $y=x$ (positiva $x$), se tiene que elegir a $\theta=\pi/4$, no otra cosa, como $9\pi/4$; en lo positivo $y$-eje, se tiene que elegir a $\theta=\pi/2$, no $5\pi/2$, etc. Pero ahora, cuando caminamos todo el camino alrededor del círculo, de vuelta al punto de $z=1$, nos encontramos con que nuestra elección original 0 ahora se ve obligado a ser $2\pi$. Por lo tanto $\theta$ no puede ser definido de forma continua en todas partes del 0.

¿Qué podemos salvar? Podemos intentar definir el $\theta$ continua en un subconjunto más pequeño de los distinto de cero de los números complejos, en lugar de todos ellos. Esencialmente, el problema era que el bucle alrededor del origen una vez que aumenta el $\theta$$2 \pi$. Si quitamos lo suficientemente números complejos por lo que es imposible para recorrer alrededor de el origen sin golpear a uno de estos quitado los puntos, a continuación, $\theta$ puede ser definido de manera continua en el resto de los puntos. Estos quitado los puntos son llamados a una "rama de corte".

Una opción común de la rama de corte es el negativo de los números reales. No es difícil convencerse de que no se puede hacer un bucle en torno al origen sin golpear a un número real negativo en algún momento. Y se puede definir $\theta$ continuamente por todos los $z$ excluyendo los números reales $z \le 0$. Si usted elige $\theta=0$$z=1$, como antes, entonces para los puntos de $z$, ligeramente "por encima" de la negativa del eje real, elegimos $\theta$ positivo y de magnitud ligeramente inferior a $\pi$; para los puntos de $z$, ligeramente "inferior" el eje real negativo, elegimos $\theta$ negativo y de magnitud ligeramente inferior a $\pi$. Todos los otros puntos de relleno en forma natural. Tenga en cuenta que hay una discontinuidad, como cruzar la rama de corte (los negativos de los números reales), como se esperaba.

Una vez que definimos $\theta$, podemos definir a la $\log z = (\log r) + i \theta$, y así definir $z^a = e^{a \log{z}}$, que era nuestro objetivo original.

Habiendo dicho todo eso, hay un caso en el que todas estas decisiones no importan, y que podemos definir $z^a$ continuamente a lo largo de todo distinto de cero $z$. ¿Qué es eso? Que en el caso de las $a$ es un número entero: en ese caso, hacer una elección diferente de $\log{z}$ cambios en el valor de $a \log{z}$ por un número entero múltiplo de $2 \pi i$, por lo que el valor de $e^{a \log{z}}$ no se ve afectado en absoluto. Por lo que el valor de $z^a$ es independiente de la elección de $\log{z}$ al $a$ es un número entero. Y si usted piensa acerca de ello, hay una buena razón para ello: por ejemplo, cuando se $a=3$, el valor de $z^3$ mejor que no ser cualquier número distinto de $z \cdot z \cdot z$ !

Answer 2

El problema de las ramas de registro puede ser visto de esta manera: como usted dijo, $e^z$ $logz$ no están global inversos el uno del otro, todavía, que son locales inversos el uno del otro, (por ejemplo, por el teorema de la función inversa. ) Una rama de la $logz$ es una inversa de a $e^z$.

Recuerde que la exponencial $e^z$ es periódica, con periodo de $2\pi$ Esto significa que usted puede embaldosar el plano complejo con tiras $[y,y+i2\pi)$ , en el que puede definir locales de los inversos de las $e^z$. Cualquiera de estos locales inversos (uno para cada valor de y ) es una rama del registro.

Como un ejemplo, el registro principal, aka, Logz, es el invertible mapa de $e^z$ entre el plano complejo con el real negativo del eje de quita y la tira $(0,0+i2\pi]$=$(0,i2\pi$]. La inversa de esta función es entonces lo que se llama $Logz$