Sea R un anillo. Demostrar que si $x^2=x$ para cada $x \in R$ , entonces R es un anillo conmutativo.
Ok, así que estoy buscando alguna confirmación de que estoy haciendo esto correctamente.
Si suponemos $x,y \in R$ Consideremos $(x+y)^2$ ,
Entonces $(x+y)^2 = x^2+xy+yx+y^2$ pero $x^2=x$ y $y^2=y$
También podemos ver que para todos los $x \in R, x=-x$
Así que, $(x+y)^2= x+xy+yx+y$
Además, por nuestra $(x+y)^2=(x+y)$ así que
$x+y =x+xy+yx+y$ Resolviendo esto algebraicamente nos da $-yx=xy$ pero como $(-yx)^2=(yx)$ ,
Lo tenemos, $yx=xy$ Por lo tanto, R es conmutativo. ¿Esto lo resume todo?
3 votos
A mí me parece bien. (Yo haría un poco más claro en el último paso que usted cuadró ambos lados de $-yx=xy$ Me costó un poco entender lo que hiciste).
0 votos
Me pregunto sobre el último paso: $(-yx)^2 = (yx) \implies yx = xy$ . ¿Cómo has hecho esa deducción?
2 votos
@Omnomnomnom Si $-yx=xy$ entonces $yx=(yx)^2=(-yx)^2=(xy)^2=xy$ .
0 votos
@MarioCarneiro gracias por eso
0 votos
@MarioCarneiro Yo no cerraría esto como un duplicado ya que se trata de la prueba específica. Aunque quizás me equivoque en la política de la página
4 votos
También puede comenzar con $x=x^2=(-x)^2=-x$ para demostrar que el signo menos no importa en dicho anillo y luego terminar la prueba en $xy+yx=0$ . Esto da a la prueba una estructura más fácil, creo.
0 votos
@DietrichBurde bastante justo.
0 votos
¿Es correcto escribir: $(-x)^2 = -x . -x = x = -x$ ?