Prueba $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n^2+2}{3n^3+1}=0$ directamente de la definición de límite.

Question

Una de las preguntas de mis deberes es:

Prueba $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n^2+2}{3n^3+1}=0$ directamente de la definición de límite.

Al tratar de seguir: Demostrar que $\lim \limits_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1} = 0$ de la definición Hasta ahora lo he hecho:

Prueba:

Hay que demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ existe un número entero $N$ tal que $\left|\frac{2n^2+2}{3n^3+1}-0\right| <\epsilon$ siempre que $n>N$ .

$\left|\frac{2n^2+2}{3n^3+1}-0\right|=\frac{2n^2+2}{3n^3+1}>\frac{2n^2}{3n^3}=\frac{2}{3n}$ .

Porque en el problema que me han dado, el lado izquierdo de la desigualdad que estoy tratando de simplificar supongo que es mayor que el lado derecho, estoy atascado.

Y no entiendo el cómo ni el porqué de las manipulaciones algebraicas que realiza el autor original y una de las respuestas, en la pregunta enlazada:

$$\left|\frac{n}{n^2 + 1}\right| < \epsilon \text{ whenever }x \gt M.$$

$$ n \lt \epsilon(n^2 + 1) $$

$$n \lt \epsilon n^2 + \epsilon$$

En este momento, me siento realmente desorientado.

Answer 1

Dejemos que $\epsilon>0$ y que $N>\frac{4}{3\epsilon}$ . Si $n>N$ entonces $n>\frac{4}{3\epsilon}$ o $$\epsilon>\left|\frac{4}{3n}\right|$$

Así:

$$\epsilon>\left|\frac{4n^2}{3n^3}\right|$$ $$\epsilon>\left|\frac{2n^2+2n^2}{3n^3}\right|\geq\left|\frac{2n^2+2}{3n^3}\right|>\left|\frac{2n^2+2}{3n^3+1}\right|=\left|\frac{2n^2+2}{3n^3+1}-0\right|$$

¿Tienen sentido estas manipulaciones?