$f$ es una función completa con Im $f\geq 0$

Question

$f$ es una función completa con $\operatorname{Im}f \geq 0$. Entonces cual de las siguientes son verdaderas: 1) $f$ es constante. 2) $\operatorname{Re}f$ es constante. 3) $f = 0$. 4) $f'$ es un no-cero constante.

Que (3) y (4) son incorrectas puede ser demostrado mediante el uso de $f(z) = i$. Pero estoy desorientado acerca de las dos opciones restantes.

Answer 1

Sugerencias:
(1) Si $f$ es todo lo es $e^{if}$
(2) $|e^{if}|=e^{-\operatorname{Im}(f)}\leq 1$
(3) el Uso del teorema de Liouville

Answer 2

Considere la posibilidad de $g=\dfrac{1}{f+i}$(gracias a punto de salir de mi error), a continuación, $g$ es todo y $|g|<1$, ahora se puede concluir que el $g$ es una constante que la del teorema de Liouville(se me olvida su nombre). En consecuencia, $f$ es también una constante. También por Picard del teorema, que el rango de cualquier no constante de la función debe contener el complejo excepto en más de un punto.

Answer 3

Una función de este tipo $f$ mapa de todo el plano en la mitad superior del plano -. El teorema de Picard dice que esto es imposible, ya que toda una función no constante debe asignar el avión en sí mismo o en el plano complejo perforado por una "falta" de punto. La asignación de $f$ debe ser constante.