Factorise $f(x) = x^3+4x^2 + 3x$

Question

No estoy seguro si esto pertenece aquí, pero poco a poco estoy caminando a través de mis estudios de Matemáticas de la 1 y me preguntaba si ustedes podrían dar su opinión y/o correcciones en la siguiente factorización pregunta:

$$ \text{Factorise}: f(x) = x^3+4x^2+3x $$

En primer lugar, el MCD de los de arriba es $x$:

$$x(x^2+4x+3)$$

Ahora tome $x^2+4x+3$ y factorise que:

$$ x^2+4x+3 $$

Utilizando el método del cuadro de, escriba el primer término $x^2$ en la esquina superior izquierda, y el último término de $3$ en la esquina inferior derecha.

\begin{array}{|c|c|} \hline x^2 & \\ \hline & 3 \\ \hline \end{array}

A continuación, encontrar HCF de 3:

$$3\\ 1 | 3 $$

Introduzca los valores de $1x$ $3x$ en los otros dos cuadros:

\begin{array}{|c|c|} \hline x^2 & 1x \\ \hline 3x& 3 \\ \hline \end{array}

Ahora factorise las filas y columnas:

$$ x^2 + 1x = x(x+1)\\ x^2 + 3x = x(x+3)\\ 1x + 3=1(x+3)\\ 3x +3=3(x+3) $$

Por lo tanto: $$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$$ De ello se sigue que: $$f(x) = x^3+4x^2+3x=x(x+1)(x+3)$$

Cualquier comentario sobre el método y/o correcciones son aceptadas con gusto! Ser amable, soy un estudiante en problemas ya sabes...

Answer 1

Nunca había oído hablar del método de cuadro antes de que te vi usar!

Cuando llegué a la parte de factoring $x^2 + 4x + 3$ me gustaría ir y encontrar las raíces de la misma, porque con las raíces también se puede factorizar el polinomio.

En la búsqueda de ese $-1$ $-3$ son las raíces, me gustaría saber $x^2 + 4x + 3 = (x - (-3))(x - (-1)) = (x + 1)(x + 3)$.

Esto funciona por un polinomio de grado $n$. Si un $n$-grado del polinomio tiene raíces $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$, entonces el polinomio es igual a $(x - \lambda_1)\cdots(x - \lambda_n)$

Por supuesto que no siempre tienen acceso a todas las raíces del polinomio a la vez, pero que en parte puede factorise y nuestra forma de trabajo a través de eso. Nos vamos a ir a través de la polinomio $p = x^4 + 3x^3 - x^2 - 3x$.

La primera cosa que es evidente es que el $\lambda_1 = 0$ e lo $p = x^4 + 3x^3 - x^2 - 3x = x(x^3 + 3x^2 - x - 3)$.

Ahora viene la parte difícil. Encontrar las raíces de $p_1 = x^3 + 3x^2 - x - 3$. Lo que yo siempre empiezo por hacer es probar algunos de los números pequeños. Adivinar $\lambda_2 = 1$ resulta ser fino y por lo tanto podemos factor de $p_1$. Ahora hay algunos polinomio $p_2$ de grado 2 que multiplica por $(x - \lambda_2) = (x - 1)$ da $x^3 + 3x^2 - x - 3$. Para calcular dicho polinomio, me refiero a Ruffini la regla, que es sólo una manera más rápida para factorizar un polinomio cuando conoces a una raíz. A continuación, llegamos $p_2 = x^2 + 4x + 3$, que fue lo que factorizados por encima. Dado que este es un 2º de grado del polinomio, podemos seguir tratando de adivinar raíces, utilizar el método de cuadro, o el uso de la fórmula cuadrática para encontrar sus raíces.

Answer 2

Yo no sé si esto realmente califica como una respuesta, pero lo que estamos pidiendo es esencialmente una opinión de la metodología.

En primer lugar, su factorización es correcto: se puede comprobar el resultado simplemente por hacer la multiplicación.

Dicho esto, parece que se podría haber ahorrado un montón de esfuerzo mediante el uso de un par de diferentes técnicas.

Para empezar, el polinomio $x^3+4x^2+3x$ es claramente divisible por $x$ (como se señaló), por lo que el factor de que a $x(x^2+4x+3)$.

Aquí es donde se pone interesante: factorizar el polinomio de grado 2, por lo general se toma uno de estos dos caminos.

Primero: se observa que el $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$, así que si podemos adivinar dos números de $a$ $b$ de manera tal que, en nuestro caso, tenemos $ab=3$$a+b=4$, hemos terminado.

En este caso podría haber sido capaz de detectar que $3\cdot 1=3$$3+1=4$, lo $(x+1)(x+3)$ es la factorización de la que estamos buscando. Confía en mí, se hace más fácil con la práctica y es una gran cantidad de tiempo y esfuerzo de ahorro para el simple grado 2 polinomios con coeficientes enteros.

Otra cosa que podría intentar adivinar sólo una raíz y, a continuación, utilizar el polinomio de la división larga. Esto tiene la ventaja de trabajar con cualquier grado de los polinomios, como usted puede adivinar una raíz. Por lo general tratan de $1$, $-1$ y quizá $2$, pero si los que no funcionan estoy mejor con alguna otra técnica.

Y por último, para el grado 2 de polinomios que tienen la fórmula general para encontrar las raíces, que tiene la ventaja de que siempre trabajando (en el sentido de que siempre se va a encontrar todas las raíces reales hay de encontrar), pero puede ser desordenado, y es, en mi opinión, bastante aburrido.

Ahora, esto no quiere decir que nada de lo que usted hizo es incorrecta o incluso menos eficiente: en última instancia es una cuestión de gusto personal, pero creo que el tener tantas herramientas como sea posible en su bolsillo sólo puede hacer bien.

Answer 3

Todo está más o menos en lo correcto acerca de la manera de enfocar el problema. Usted también podría haber optado por el término medio factorización método o el método de la desaparición de método. Sin embargo, usted tiene que corregir una cosa ...

Ahora factorise las filas y columnas: $$ x^2 + 1x = x(x+1)\\ x^2 + 3x = x(x+3)\\ 1x + 3=1(x+3)\\ 3x +3=1(x+3) $$

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La última línea debería ser $3x +3=3(x+1)$.

Answer 4

Para el factor de $x^3+4x^2+3x$, nos damos cuenta de que podemos factor de $x$. Por lo tanto, obtenemos$$x^3+4x^2+3x=x(x^2+4x+3)\tag1$$ Ahora, tenemos que ver si $x^2+4x+3$ puede ser factorizado como un producto de dos términos lineales. Una manera fácil de factor de monic polinomio es encontrar dos números de $r,s$, que se suma a la negaba el valor de $b$ y tener un producto de $c$$x^2+bx+c$.

En otras palabras, tenemos $$\begin{align*} & r+s=-b\\ & rs=c\end{align*}\tag2$$ para $x^2+bx+c$. En el ejemplo, vemos que $-b=-4$$c=3$. Cachondeo, vemos que cuando la $r=-1,s=-3$, se cumplen los requisitos. Por lo tanto,$$x^3+4x^2+3x=x(x-1)(x-3)$$

Answer 5

X(X+1)(X+3)

Por lo tanto (X+1)(X+3) = X^2+4X+3.

Por lo tanto, multiplicando este por X se obtiene X^3+4X^2+3X.

Así que, sí bien hecho que es correcto.