Comprensión del teorema del valor medio

Question

Así que tengo esta pregunta aquí que dice:

Digamos que f es diferenciable y $f'(x)\neq1$ en $(-\infty,\infty)$ . Demuestre que hay como máximo un número real $a$ tal que $f(a)=a$

Se supone que debo utilizar el teorema del valor medio con la función $g(x)=f(x)-x$ pero no estoy muy seguro de cómo debo incorporar el teorema del valor medio en esto...

Intenté sustituir por $f(b)$ con $g(b)+b$ y simplificar las cosas, pero no estoy llegando a ninguna parte.

¿Alguna ayuda sobre esto, por favor?

Answer 1

Supongamos por el contrario que hay dos valores distintos tales que $f(a)=a$ y $f(b)=b$ .

La definición $g(x)=f(x)-x$ obtenemos $g(a)=0$ y $g(b)=0$ .

Por el teorema del valor medio (Nota $g$ también es diferenciable):

$g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=0$ para algunos $c$ entre $a$ y $b$ .

Esto significa que $0=g'(c)=f'(c)-1$ Así que $f'(c)=1$ una contradicción.

Answer 2

No es necesario considerar $g(x)=f(x)-x$ .

Supongamos que hay $a,b \in \mathbb R$ tal que $b>a$ , $f(a)=a$ y $f(b)=b$ . Entonces

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=1 \ne f'(c)$ para todos $c \in (a,b)$ , una contadicción