Estructuras en la trama de la "cuadratura" de los números

Question

Por favor explique las características de esta parcela de la cuadratura relación $r(n)$ frente al $n$.

Yo defino el cuadrado de un número natural $n$ a ser el más cercano sus factores puede ser dividido en una proporción equilibrada de $1$. Un cuadrado perfecto tiene cuadratura $1$. Un primer $p$ ha cuadratura $1/p$. En un sentido, la cuadratura mide cerca de es $n$ a un cuadrado perfecto.

Ejemplo. La cuadratura ratios para los primeros diez el número de $n=1,2,\ldots,10$ $$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3} ,1,\frac{1}{5},\frac{2}{3},\frac{1}{7},\frac{1}{2},1,\frac {2}{5}$$

Ejemplo. $n=1032 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 43$. Uno puede particionar su $5$ factores en dos partes que han los productos cuyas relaciones son $$ \left\{\frac{1}{1032},\frac{1}{2 58},\frac{3}{344},\frac{2}{12 9},\frac{3}{86},\frac{8}{129} ,\frac{6}{43},\frac{24}{43}\right\} $$ con $\frac{24}{43} \approx 0.558$ la mayor proporción, su simetría.

Ejemplo. Para $n=12600=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$, la mayor proporción es de $$\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{7}{8}=0.875 \;.$$

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Entre esta parcela evidente características son: directamente de los rayos desde el origen, hipérbolas, apreciable variación de la densidad en $r=\frac{1}{2}$, patrones de interés cerca de $r=1$. Hay más estructura de aquí de lo que yo esperaba.

^{(Algunos detalles se pierden la conversión de la imagen para su publicación.)}

Añadido. Riffs en PattuX la idea, para un primo, $n=p$, todos los números de $k n$ $k=1,2,\ldots,p$ tener relaciones de ortogonalidad $k/p$. Por ejemplo, para $n=17$, $$n = 17,34,51,68,85,102,119,136,153 ,170,187,204,221,238,255,272, 289$$ tienen simetría $$\frac{1}{17},\frac{2}{17} ,\frac{3}{17},\frac{4}{17},\frac{5}{17},\frac{6}{17}, \frac{7}{17},\frac{8}{17},\frac{9} {17},\frac{10}{17},\frac{11}{ 17},\frac{12}{17},\frac{13}{1 7},\frac{14}{17},\frac{15}{17 },\frac{16}{17},1 $$ y así todos se encuentran en una recta que pasa por el origen.

Answer 1

Cosas increíbles, muy interesante.

Si decimos $r(x) = \frac{p}{q} < \frac{1}{a}$$a>b$, $r(bx) = \frac{bp}{q}\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (a,b \in \mathbb{N})$

Prueba: Supongamos $p=n_1 n_2 ... n_k, \space q=m_1 m_2 ... m_l$, por lo que el $\frac{p}{q} \le1$ es máxima.

A continuación, $\forall i,j:n_i<m_j \iff \frac{n_i}{m_j} < \frac{1}{a^{2}}$ porque de lo contrario el intercambio de $n_i$ $m_j$ resultaría en $\frac{p}{q}$ alargando, pero todavía puede ser menor que 1.

Si ahora decimos que $p=bn_1 n_2 ... n_k, \space q=m_1 m_2 ... m_l$, tenemos que demostrar que aún es óptima.

Suponga $r(bx)\ne \frac{bp}{q} \implies \exists j: b<m_j, \frac{b}{m_j} \ge \frac{1}{a^{2}} \iff ba^{2}\ge m_j $

Intercambio de $b$ $m_j$ effectivelty multiplica la fracción por $\frac{m_j^{2}}{b^{2}}$, por lo $\frac{m_j^{2}}{b^{2}} < a \implies m_j^{2}<b^{2}a$

La multiplicación de esos juntos: $m_j^{3} < (ab)^{3} \implies m_j < ab < a^{2}$.

Pero nos dijo que $\frac{n_i}{m_j} < \frac{1}{a^{2}}$. Podemos decir $n_i = 1$ (ya que no se supone que es la factorización prima), el cual arroja $\frac{1}{m_j} < \frac{1}{a^{2}} \implies m_j > a^{2}$

[No estoy 100% seguro de que esta prueba es correcta, así que por favor confirmar por ti mismo. Sin embargo, incluso si no es verdadera para todos los números, es cierto para la mayoría de los números, que es suficiente para crear un patrón]

Por lo $r(x)<\frac{1}{a} \implies r(bx) = b*r(x) \space \space \space (a>b)$. Esto puede explicar el parcial de la linealidad.