La equivalencia de la relación en un continuo

Question

Deje $X$ ser un proceso continuo, es decir, la conexión de un espacio métrico compacto.

Definir $x\sim y$ si $x$ $y$ están contenidas en un lugar denso subcontinuum de $X$. Es fácil ver que $\sim$ es una relación de equivalencia.

Ejemplos:

$[0,1]$ - cada clase de equivalencia es un singleton.

$[0,1]^2$ - sólo hay una clase de equivalencia (todo el espacio).

Así tenemos ejemplos con infinidad de clases y sólo 1 de clase.

Pregunta: ¿hay un continuum con un número finito de clases mayor que 1?

Answer 1

Esta es una respuesta incompleta (esta pregunta no es trivial, en realidad, es muy difícil OMI), pero he pensado que me gustaría poner aquí con la esperanza de que alguien pudo completar la prueba (me he gastado una buena cantidad de tiempo en él ya, y lamentablemente tienen que pasar).

$\textbf{Proposition:}$ Supongamos $X$ es un camino conectado continuo. A continuación, en virtud de la equivalencia de la relación anteriormente descrita, hay infinidad de clases de equivalencia o sólo hay uno.

$\textbf{Proof:}$ Hay dos casos aquí:

1.) Si para cada una de las $x \neq y \in X$, hay un camino de $f: [0,1] \rightarrow X$ $x$ $y$ que es denso en ninguna parte en $X$, el cierre de la $\overline{f([0,1])} \subseteq X$ es un lugar denso, conectado (cierre de imagen continua de un conjunto conectado), compacto (cerrado subconjunto compacto de un espacio) establecer y, por tanto, un lugar denso subcontinuum. Por lo tanto, en este caso, tenemos $x \sim y$ para cada par $x \neq y$, y como resultado sólo una clase de equivalencia.

2.) Ahora supongamos que tenemos $x \neq y \in X$ tal que cada camino $f:[0,1] \rightarrow X$ entre ellos es denso en algunas conjunto abierto no vacío. Como un espacio métrico, $X$ es Hausdorff y así ruta de conexión implica arco-conectividad, por lo que hay un camino entre el $x$ y $y$, $f:[0,1] \rightarrow f([0,1]) \subseteq X$, que también es un homeomorphism. Por hipótesis, hay un no-vacío abierto balón $U \subseteq X$ tal que $f([0,1]) \cap U =V$ es denso en $U$. Ahora argumentan que $U \cong (a,b) \subseteq \mathbb{R}$ algunos $a<b$.

Considere la posibilidad de $U$ como un subespacio de $X$. Tenga en cuenta que $f([0,1]) \subseteq X$ es cerrado y por lo tanto, por definición de la topología de subespacio, $V$ es cerrado. A continuación definimos el mapa $F: U \rightarrow \mathbb{R}$, $F: x \mapsto d(x, V)$, donde $d$ es la métrica definida en $X$. Desde $V$ es cerrado, $F$ es continua. Pero tenga en cuenta que para cada $x \in V$, $F(x)=0$, por lo $F$ está de acuerdo con el cero de la función de un subconjunto denso de un espacio de Hausdorff y así debe de ser $0$ en todas partes. A continuación,$F(U)= \left\{0 \right\}$, es decir, por cada $x \in U$, $d(x, V)=0$. Pero, a continuación,$U=V$. Entonces a partir de la $U$ es una bola, que está conectado y su imagen bajo la homeomorphism $f^{-1}: f([0,1]) \rightarrow [0,1]$ debe estar conectado y abierto, así que es un intervalo de la forma $(a,b)$. A continuación, $U \cong (a,b)$ como se reivindica. (Obviamente, $U \neq \emptyset$ implica $a<b$)

$\textit{Lemma:}$ Supongamos $S \subseteq X$ es un conjunto conectado de tal manera que son dos puntos distintos $c,d \in S \cap U$. A continuación, $S \cap U$ está conectado.

(presentado sin pruebas, no he sido capaz de probar este lema).

Si suponemos que tenemos $c,d \in U$ tal que $c\sim d$, entonces no hay conectado ningún lugar denso conjunto de $S$$c,d \in S$. Entonces, por el lema, $S \cap U$ está conectado y puesto que contiene al menos dos puntos, su imagen bajo la homeomorphism $f^{-1}$ es un intervalo. Pero, a continuación, $S$ es denso en algunas conjunto abierto en $U$, contradiciendo el "denso en ninguna parte" hipótesis". Podemos entonces concluir que dados dos puntos $c,d \in U$, no pueden ser elementos de la misma clase de equivalencia. A continuación, se deduce que hay infinitamente muchas clases, desde $U$ tiene un número infinito de elementos. Esto completa la prueba. $\Box$

Así que todo se reduce a que lexema (suponiendo que todo lo demás está OK). Parece intuitivamente cierto, pero realmente no he sido capaz de demostrarlo. También, no puedo ver ninguna manera inmediata a extender esto para el caso en que el espacio se acaba de conectar.

Answer 2

Me reclama que no hay tal continuidad que existe.

La reclamación. Si $X$ está conectado a un espacio métrico y $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$, entonces hay exactamente una clase de equivalencia o hay infinitamente muchos.

Prueba. Decir $X$ $n$ muchas clases de equivalencia. A continuación, $X/{\sim}$ es finita conectado secuencial espacio (un espacio secuencial iff es un cociente de un espacio métrico). Pero finita secuencial espacio es discreto, como toda sucesión convergente a algunos $x$ el tiempo debe ser constante. Esto obliga a que $n=1$, ya que de lo contrario se desconecta. QED

Edit: La anterior prueba que está mal. Más específicamente, no sabemos de que cada secuencia convering a $x$ el tiempo debe ser constante. TBC.