Solucionar $\dfrac{1}{\left\lfloor{x}\right\rfloor}+\dfrac{1}{\left\lfloor{2x}\right\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}$

Question

Enunciado Del Problema:-

Resolver: $$\dfrac{1}{\left\lfloor{x}\right\rfloor}+\dfrac{1}{\left\lfloor{2x}\right\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}$$ donde $\left\lfloor{x}\right\rfloor$ denota la parte integral de la $x$ $\{x\}=x-\left\lfloor{x}\right\rfloor$

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La función del suelo sólo me come enteros siempre que me encuentro con él. He intentado algunas cosas que resolver, pero simplemente no estoy capaz de hacer cualquier cosa útil a todos. Aquí están las cosas que he intentado.

Primero de todo, permite definir el dominio de $x$$x\not\in[0,1)$ , porque si así sucede, a continuación,$\left\lfloor{x}\right\rfloor=0$, lo que no debe suceder para $\dfrac{1}{\left\lfloor{x}\right\rfloor}$ $\dfrac{1}{\left\lfloor{2x}\right\rfloor}$ a ser definido.

Después de esto yo no era capaz de encontrar una buena línea de pensamiento para tratar el problema de forma, por favor me guía en cuanto a lo que debería ser mi línea de pensamiento para tratar los problemas relacionados con la parte integral de la $x$.

Answer 1

Empezamos por la reescritura de $\left\lfloor{x}\right\rfloor = k$$\{x\} = d$,$k \in \Bbb{N}$$d \in [0, 1)$, donde se excluyen los enteros negativos gracias a un comentario en el OP. Ahora hay dos casos: o $d \in [0, 0.5)$ o $d \in [0.5, 1)$. Observe que si $d \in [0.5, 1)$, a continuación, la parte entera de la $2x$ no $2k$ pero $2k + 1$.

Supongamos $d \in [0, 0.5)$ La ecuación se convierte entonces en

$$\frac1k + \frac1{2k} = d + \frac13 \iff \frac3{2k} = \frac{3d + 1}3 \iff$$

$$\iff \frac9{3d + 1} = 2k \iff k = \frac9{2(3d + 1)}$$

Pero dado que el $k$ es un número entero, debemos tener la $6d + 2$ divide 9. Ahora te deja con muy pocas posibilidades de que pueda ser probado por separado. Se puede tomar desde aquí?

También, ¿crees que puede imitar esto para el caso de $d \in [0.5, 1)$ hacer los cambios necesarios para el denominador de la segunda fracción?

EDITAR Como tomar un camino similar, tendría que ir muuuucho camino alrededor, tratamos de este otro enfoque:

Si $d \in [0.5, 1) $ $\frac46 \leq d + \frac13 < \frac43$ por lo tanto

$$\frac1k + \frac1{2k +1} \in [\frac46, \frac43) $$

La escritura de las dos desigualdades y multiplicando por 6 uno se

$$4 \leq \frac6k + \frac6 {2k+1} < 8$$

Uno puede ver fácilmente que $k = 3$ es demasiado grande ya así se queda con un par de valores para probar. Si hay algunos entero solución para aquellos desigualdades, entonces uno debe averiguar cuánto $d $ tendría que ser. Si después de la resolución que $d \in [0.5, 1) $ encontrado otra solución. De lo contrario no.

Answer 2

Se dan cuenta de que el lado derecho es positivo por lo que debe ser la LHS
Así que si $ \left \lfloor x\right \rfloor\geq 5$ $$\frac{1}{\left \lfloor x\right \rfloor}+\frac{1}{\left \lfloor 2x\right \rfloor}< \frac{1}{3}$$ Así, entonces usted acaba de comprobar los casos