El Néron-Tate canónica de altura en curvas elípticas

Question

He estado tratando de entender el Néron-Tate global canónica de la altura de la algebraicas puntos sobre curvas elípticas.

Deje $K$ ser un campo de número, $E$ una curva elíptica ( $\mathbb{Q}$ , por ejemplo), y $E(K)$ el Mordell-Weil grupo de $K$-puntos racionales en $E$.

Entiendo Néron la construcción de la "ingenua" de altura como un "cuasi-forma cuadrática" en la $E(K)$. Un promedio de procedimiento, a continuación, se convierte de esta "cuasi-cuadrática" se constituyen en una forma cuadrática en una forma canónica. Todo esto es bastante sencillo.

Lo que no entiendo muy bien es Tate descomposición de la global canónica de altura como una suma de las alturas, a lo largo del normalizado de los valores absolutos de $K$. Parece magia pura para mí. Lo que me parece más preocupante es la absoluta falta de analogía entre la construcción de los locales de la altura de Arquímedes valores absolutos, resp. para no Arquimedianos. El local de la altura de Arquímedes valores absolutos está dada por la construcción que pertenece totalmente a la esfera del análisis, por lo que puedo ver - mientras que para los no-Arquímedes valores absolutos, es dado por la esencia función aritmética; y, sin embargo, todas estas parche juntos para dar el canónica de altura... es muy raro y sorprendente y me gustaría entender.

La única referencia que ha sido de gran ayuda ha sido Lang Curvas Elípticas: Diophantine Análisis. Por desgracia, Lang no es el más generoso escritor cuando se trata de detalles o de la intuición. Yo realmente apreciaría una referencia disponible sobre el tema, o, por supuesto, algunas explicaciones. Gracias!

Answer 1

El local alturas en nonarchimedean lugares se obtiene de la siguiente manera: se extienden las la curva elíptica $E$ sobre el anillo de los enteros $\mathcal O_{K_v}$, distribuye los dos puntos en las curvas en dos dimensiones esquema, y luego calcular su intersección.

El local de la altura en un lugar de arquímedes es obtenida por la toma de los puntos complejos de la curva elíptica, y el uso de una función de Green. Sin embargo, usted puede llenar la curva elíptica a una sólida toro (este es un análogo de repartir en $\mathcal O_{K_v}$) y, a continuación, darse cuenta de su grado cero divisores (cuyos locales altura de emparejamiento que se va a calcular), ya que los límites de $1$-ciclos en este sólido toro. La función de Green, entonces debe tener una interpretación geométrica en términos de estos $1$-ciclos. (Siento no ser más preciso aquí; espero que alguien te pueda añadir más detalles. También puede buscar en Manin del papel tridimensionales de la geometría hiperbólica como $\infty$-ádico Arakelov geometría, donde creo que la prueba de una fórmula del tipo que estoy sugiriendo. La idea, sin embargo, es que podemos "repartidos" en el infinito de los números primos también, pasando de un toro a un sólido de toro, y la sustitución de nuestros puntos $1$-ciclos.)

Answer 2

Quizás el Capítulo VI de Silverman "Temas Avanzados en la Aritmética de Curvas Elípticas" podría proporcionar algo de la explicación que usted está buscando. Parece que al menos dar alguna explicación acerca de por qué las alturas para no Arquimedianos valores absolutos se construyen de esta manera.