Tengo el siguiente sistema dinámico $$ \dot{x} = \mu - mx - xy^2 $$ $$ \dot{y} = -\mu y + xy^2 $$ y necesito a "analizar" cualquier bifurcaciones que se producen como $m$ $\mu$ son variadas. Me he dado cuenta de que los puntos críticos se $(\frac{\mu}{m}, 0)$ $m \neq 0$, $(\frac{2\mu}{1 \pm \sqrt{1 - 4m}}, \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4m}}{2})$ para $m \leq \frac{1}{4}$, y de toda la $y$ eje $\mu = 0$. Para encontrar las bifurcaciones, he trabajado a cabo cuando los puntos críticos no eran hiperbólico por encontrar el determinante y la traza de la matriz Jacobiana en cada punto crítico, y puesta a cero. Parece que hay una silla-nodo de bifurcación que ocurren en $m = \frac{1}{4}$ de los puntos de $(\frac{2\mu}{1 \pm \sqrt{1 - 4m}}, \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4m}}{2})$, y una bifurcación de Hopf que ocurren en $$\mu = \frac{1 + \sqrt{1 - 4m}}{2} = y$$ for the point $(\frac{2\mu}{1 + \sqrt{1 - 4m}}, \frac{1 + \sqrt{1 - 4m}}{2})$.
El problema es que no sé cómo demostrar que estas bifurcaciones son, de hecho, la silla de nodos y Hopfs, respectivamente. En un sistema unidimensional, yo sé que uno tiene que calcular ciertas derivadas parciales de la ecuación original (con respecto a la variable y parámetro) para confirmar que una bifurcación es una silla-nodo. Pero ya que este es un sistema bidimensional, no estoy seguro de qué hacer. Del mismo modo, el hecho de que hay dos parámetros que parece complicar el proceso de confirmación de que la bifurcación es una de Hopf. Me las he arreglado para conseguir que el sistema en forma normal para cada bifurcación. Hice esto por primera desplazamiento $x$, $y$, y $m$, de modo que las bifurcaciones en cada caso se produjo en $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{m}) = (0, 0, 0)$. Luego he sustituido $\bar{x}$, $\bar{y}$, y $\bar{m}$ (el pasado variables) en las ecuaciones originales para obtener un nuevo sistema de la forma $$\dot{\bar{\mathbf{x}}} = A\bar{\mathbf{x}} + \text{nonlinear terms},$$ and I transformed this into normal form in the usual way (i.e. by defining $\mathbf{u} = P^{-1}\bar{\mathbf{x}}$, where $P$ is the matrix of eigenvectors of $$, to get $\dot{\mathbf{u}} = \Lambda\mathbf{u}$).
Presumiblemente, tengo que usar esta nueva forma normal del sistema con el fin de clasificar las bifurcaciones que se producen en cada caso, pero no estoy seguro de cómo hacer esto.
