Topología de Zariski de $k^2$

Question

He encontrado esta "prueba de la izquierda para el lector" en algunas notas de la conferencia:

Deje $k$ ser un campo arbitrario. En el Zariski-Topología de $k^2$ cada conjunto cerrado de $k^2$ es finito o la puesta a cero de un único polinomio.

Esto se deduce del hecho de que entre dos polinómios coprimos en $k[X,Y]$ compartir en más de un número finito de puntos cero.

Yo no era capaz de probar esto. Me puedes dar una pista? Yo también estoy un poco desconcertado porque esto significaría que decir la unión de la $x$-eje y un único punto es de nuevo el ajuste a cero de un único polinomio.

En $\mathbb{R}$ todavía podríamos escribir un punto en el $(x,y) = Z((X-x)^2 + (Y-y)^2)$ como la puesta a cero de un único polinomio, pero este hace uso del hecho de que $\mathbb{R}$ tiene un orden.

Answer 1

La declaración, en esas notas, sólo es cierto para irreductible ideales. Como su contraejemplo muestra, no es cierto en general. Uno de esos contraejemplo sería el ideal generado por a$xy$$x^2-x$$\mathbb{C}[x,y]$. El ajuste a cero no es finita y el ideal no es generado por un polinomio.