¿Utilizar la diferencial conjugada para determinar la existencia de un conjugado armónico?

Question

Considere $u(z)=\ln(|z|^2)=\ln(x^2+y^2)$ . Sé que $u$ no tiene un conjugado armónico de $\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ pero jugando con derivadas parciales e integrando alrededor del círculo unitario.

Sin embargo, sé que una función $u$ tiene un conjugado armónico si y sólo si su diferencial conjugado $*du$ es exacta. Se define como $*du=-\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$ .

Calculo que esto es $$ *du=\frac{-2y}{x^2+y^2}dx+\frac{2x}{x^2+y^2}dy $$ por lo que asumiría que esto no es exacto. ¿Hay alguna forma de verlo fácilmente? ¿Es así como se suele aplicar el criterio de existencia o inexistencia de un conjugado armónico en términos del diferencial conjugado? Gracias.

Answer 1

La fuerza puede ser sorprendentemente grande, pero $\Delta t$ no es cero, y la fuerza no es infinita.

Haz algunas estimaciones: la duración de la colisión es tan corta que nuestros ojos y nuestro cerebro no pueden percibirla. Haz una estimación para un límite superior de la duración. (No hay una respuesta correcta, pero sí muchas respuestas incorrectas. Por ejemplo, yo pensaría que una duración de 0,1 s sería perceptible, y "errónea". Mi límite superior debería ser menor).

A partir de esto se puede obtener un límite inferior de la fuerza.

Puede mejorar su estimación para $\Delta t$ . Conoce la velocidad de la canica. Puedes hacer una conjetura sobre el tamaño de la deformación de la bola que se produce durante la colisión. Seguramente es menos de una décima parte del radio. Probablemente menos de 1/100 ... (Haz tu propia estimación.) A partir de ahí calcula un $\Delta t$ .

Pruebe esto: haga un modelo burdo de la fuerza generada cuando dos satélites colisionaron en 2009 . Se conoce la velocidad relativa de la colisión. Se pueden encontrar o estimar las masas y los tamaños. Calcula la duración de la colisión y la fuerza generada. (No chocaron frontalmente, así que hay que dividir por 2 para tenerlo en cuenta de forma burda. Así que ahí el análisis tendrá fallos. Pero es un ejercicio interesante siempre que se tenga en cuenta que no es realista. )

Answer 2

Si $*du$ es exacta, es decir, si $$\frac{-2y}{x^2+y^2}dx+\frac{2x}{x^2+y^2}dy=df$$ para alguna función $f$ Tendríamos $$\tag{1}\int_{C}\left(\frac{-2y}{x^2+y^2}dx+\frac{2x}{x^2+y^2}dy\right)=\int_Cdf=0$$ para $C$ siendo cualquier curva cerrada. Tomemos $C$ para ser el círculo centrado en el origen con radio $r>0$ es decir $C$ viene dada por $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ , $\theta\in [0,2\pi]$ . Entonces $$\int_{C}\left(\frac{-2y}{x^2+y^2}dx+\frac{2x}{x^2+y^2}dy\right)=\int_0^{2\pi}\left(\frac{-2r\sin\theta}{r^2}d(r\cos\theta)+\frac{2r\cos\theta}{r^2}d(r\sin\theta)\right)$$ $$=\int_0^{2\pi}2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)d\theta=4\pi,$$ lo que contradice a $(1)$ .