Usted puede tener un poco de malentendido el lexicográfica del orden, ya que la lexicográfica del fin de la topología en $I\times I$ no tiene conjuntos de la forma $(a,1]\times(b,1]$ como base los elementos. Para evitar la confusión con el orden usual $\le$$I$, usaré $\preceq$ para el lexicográfica del orden en $I\times I$. Tenga en cuenta también que yo uso el ángulo de los soportes para los pares ordenados, por ejemplo, $\langle x,y\rangle$, y entre paréntesis para abrir intervalos.
Si $p=\langle x_0,y_0\rangle\in I\times I$$q=\langle x_1,y_1\rangle\in I\times I$, $p\preceq q$ fib bien $x_0<x_1$ o$x_0=x_1$$y_0\le y_1$. Supongamos que $p\prec q$. Si $x_0=x_1$, por lo que el $p$ $q$ son tanto en el segmento vertical $\{x_0\}\times I$, entonces el intervalo abierto $(p,q)$ $\langle I\times I,\preceq\rangle$ es la vertical intervalo abierto
$$(p,q)=\{x_0\}\times(y_0,y_1)=\{\langle x,y\rangle\in I\times I:x=x_0\text{ and }y_0<y<y_1\}\;.$$
Si $x_0<x_1$, es un poco más complicado:
$$\begin{align*}
(p,q)&=\Big(\{x_0\}\times(y_0,1]\Big)\cup\Big((x_0,x_1)\times I\Big)\cup\Big(\{x_1\}\times[0,y_1)\Big)\\
&=\{\langle x,y\rangle\in I\times I:x=x_0\text{ and }y_0<y\le 1\}\\
&\qquad\cup\{\langle x,y\rangle\in I\times I:x_0<x<x_1\text{ and }y\in I\}\\
&\qquad\cup\{\langle x,y\rangle\in I\times I:x=x_1\text{ and }0\le y<y_1\}\;.
\end{align*}$$
Una base para el lexicográfica del fin de la topología en $I\times I$ es la colección de todos estos intervalos abiertos con todos los intervalos de $[\langle 0,0\rangle,p)$$(p,\langle 1,1\rangle]$$p\in(I\times I)\setminus\{\langle 0,0\rangle,\langle 1,1\rangle\}$, ya que estos últimos forman local bases en los extremos de $\langle 0,0\rangle$$\langle 1,1\rangle$, respectivamente.
Deje $A=\left\{\frac12\right\}\times\left(\frac12,1\right]$, el conjunto específico acerca de lo que usted pidió. (Se nota que no es de la forma $(a,1]\times(b,1]$ en el primer lugar.) Deje $p=\left\langle\frac12,\frac12\right\rangle$$q=\left\langle\frac12,1\right\rangle$. A continuación, $A$ es el semi-abierto, cerrado en mitad del intervalo de $(p,q]$, que no está abierta, porque $q$ no está en su interior. Para ver esto, supongamos que $U$ es una nbhd de $q$. Luego hay $u,v\in I\times I$ tal que $u\prec q\prec v$$(u,v)\subseteq U$. Decir $v=\langle x_0,y_0\rangle$; a continuación, $q\prec v$ implica que el $x_0>\frac12$, por lo que existe un número real $x\in\left(\frac12,x_0\right)$, e $q\prec\langle x,0\rangle\prec v$ y, por tanto,$\langle x,0\rangle\in(u,v)\subseteq U$. Es decir, todos los abiertos nbhd de $q$ $I\times I$ contiene puntos con la primera coordenada de más de $\frac12$, lo $(p,q]$, el cual no contiene dichos puntos, no puede contener ningún abrir nbhd de $q$ y por lo tanto no se puede abrir.
