¿Cómo podemos mostrar que $\pi (x+y) - \pi(y) \le \frac{1}{3} x + C$ usando la criba de Eratóstenes?

Question

¿Cómo mostramos que para $x,y \ge 0$ números reales, existe una constante $C$ tal que: $$\pi(x+y)-\pi(y) \le \frac{1}{3}x+C$$ Donde $\pi(.)$ denota la función de conteo de primos, es cierto?

La pista es tamizar $n$ con $y< n \le x+y$:

$$\pi (x+y) \le 1+ \sum _{n \le x+y} 1+1-1 - \sum_{2|n}1 - \sum_{3|n}1 + \sum_{6|n}1 + \sum_{n\le x+y} 1 = $$ $$1+ \sum _{n \le x+y} 1+1-1 - \sum_{2|n}1 - \sum_{3|n}1 + \sum_{6|n}1 + [x+y]$$

porque: $1\le n = dm \le x+y \Leftrightarrow \frac{1}{d}\le m \le \frac{x+y}{y} $

entonces: $$\sum_{n\le x+y , d|n}1 = [\frac{x+y}{d}]$$

entonces eso da: $$\pi (x+y) < 1+ [x+y] - [\frac{x+y}{2}] - [\frac{x+y}{3}] + [\frac{x+y}{6}]$$

por lo tanto, eso dará: $\pi (x+y) < \frac{x+y}{3} + 3$ pero también obtenemos: $\pi(y) < \frac{y}{3} + 3$ así que para cualquier constante $C\ge 0$ seguramente se cumplirá que:

$$\pi(x+y) - \pi(y) < \frac{x}{3} \le \frac{x}{3} + C$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Pista: ¿Qué números módulo $6$ pueden ser primos? (Ciertamente no aquellos divisibles por $2$ o $3$\ldots)

Entonces, en un intervalo de ancho $x$ de $y$ a $y + x$, ¿cuántos primos ($\pi(y+x) - \pi(y)$) esperamos como máximo en este intervalo?

Answer 2

Estás pidiéndonos que demostremos que tu desigualdad se cumple para cualquier $x, y \ge 0$ y para cualquier constante $C$, lo cual obviamente es falso. Quizás esto es lo que quieres decir:

Demuestra que existe una constante $C$ tal que para cualquier números reales $x, y \ge 0$, $\pi(x+y)-\pi(y) \le \frac{1}{3}x+C$.