Este es el problema 719 en los ejercicios del libro de Faddeev y Sominski. Aquí es
su prueba.
Denotar por $D$ el conjunto de todos los reales univariante polinomios cuyas raíces son
real.
Lema 1 Si $f\in D$$\lambda \in {\mathbb R}$, luego
$f'+\lambda f \in D$ también.
La prueba del lema 1. El caso de $\lambda=0$ sigue por el teorema de Rolle, por lo que asumen $\lambda \neq 0$. Denotar por $x_1<x_2< \ldots <x_r$ las distintas raíces de
$f$, y denotan por $m_i$ la multiplicidad de $x_i$$f$. A continuación, $\sum_{k=1}^r m_k=n$ donde
$n$ es el grado de $f$. Considerar la fracción racional $g=\frac{f'}{f}$. Sus polos son
el $x_k$, e $g$ es surjective $(x_k,x_{k+1}) \to {\mathbb R}$ por cada $k\lt n$. También, en la frontera, $g$ es surjective $(-\infty,x_1) \to (-\infty,0)$ y surjective $(x_n,+\infty) \to (0,+\infty)$. Podemos deducir que hay un $y_k\in (x_k,x_{k+1})$$g(y_k)=-\lambda$, y que hay un otro $y$ satisfacción $g(y)=-\lambda$ (por lo $y$ $\lt x_1$ si $\lambda$ es negativo y $\gt x_n$ si $\lambda$ es positivo). Ahora vamos a contar todas las raíces que hemos encontrado para $f'+\lambda f$ : tenemos $y,y_1,y_2, \ldots y_{r-1}$, además de los $x_k$ con multiplicidades $m_k-1$. Esto hace un total de $n-1$ real
raíces y concluye la prueba.
Lema 2 Si $f,g\in D$$g=\sum_{k=0}^n {\gamma}_k x^k$, luego
$h=\sum_{k=0}^n {\gamma}_k f^{(k)} \in D$ también.
La prueba del lema 2. Deje $\lambda_1, \ldots ,\lambda_n$ el valor de las raíces
de $g(-x)$, por lo que el $g(x)=\prod_{k=1}^n (x+\lambda_k)$. La iteración lema 1 anterior, vemos
sucesivamente, que $F_1=f'+\lambda_1f, F_2=F_1'+\lambda_2 F_1, \ldots$, etc, hasta
$F_{n}=F_{n-1}'+\lambda_n F_{n-1}=h$, están todos en $D$.
Lema 3 Vamos $f\in D$, $f=\sum_{k=0}^n a_k x^k$, y $m$ ser un entero positivo. A continuación, $\sum_{k=0}^n \frac{m!}{(m-n+k)!} a_k x^k \in D$ también.
La prueba del lema 3. Uso lema 2 con $g(x)=x^m$, y multiplicar por $x^{n-m}$ si es necesario.
Principal teorema Vamos a $f\in D$, $f=\sum_{k=0}^n a_k x^k$. Entonces
$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k x^k \in D$ también.
La prueba del teorema principal. Usando el lema 3 $m=n$, vemos que
$h_1=\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} a_k x^k \in D$. Por lo $x^nh_1(\frac{1}{x}) \in D$ también,
lo que significa que $h_2=\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!} a_k x^k \in D$. Usando el lema de 3 de nuevo
con $h_2$ en lugar de$f$$m=n$, vemos que
$h_3=\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} \frac{n!}{(n-k)!} a_{n-k} x^k \in D$. Luego, divida por
$n!$.
