Definición de continuidad en un punto

Question

En "Principios de análisis matemático" Walter Rudin se da la definición de

$$\lim_{x \rightarrow p} f(x)=q$$

para $f: X \supset E \rightarrow Y$ $X,Y$ métrica espacios, de esta manera:

para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta >0$ tal que

$$d_Y(f(x),q)<\epsilon$$

para todos los puntos de $x \in E$ para los que

$$0<d_X(x,p)<\delta$$

donde $d_X$ $d_Y$ son las distancias en $X$$Y$. Después de pocas páginas se da la definición de continuidad:

$f$ se dice continua en $p$ si para cada a $\epsilon>0$ no existe un $\delta >0$ tal que

$$d_Y(f(x),f(p))<\epsilon$$

para todos los puntos de $x \in E$ para los que

$$d_X(x,p)<\delta$$

Mi pregunta es, ¿por qué lo hizo caer el $0<\dots$$d_X(x,p)<\delta$? Yo, sin embargo, que la continuidad en la $p$ significa que el límite de la función en $p$ existe y es igual a $f(p)$, así que uno debe simplemente reemplace $q$ $f(p)$ en la definición de límite, ¿por qué cambiar la condición en $x$?

Haciendo así una función como

$$f: \{1\} \rightarrow \mathbb{R}$$ which maps 1 to 5, for example, would be continous in 1, since $x=p$ is allowed, but what is the limit of $f$ en 1? No existe, ¿verdad?

Hay una razón profunda para un contradictorio definición?

EDITAR:

Tal vez debería aclarar mejor mi pregunta. Sé que esta definición funciona, estoy preguntando por qué considerar una función continua en puntos aislados (que es una consecuencia inmediata de esta definición ---> resultó Que yo estaba equivocado acerca de esto).

La única razón que se me ocurre es que esta definición está de acuerdo con el topológica de una continuidad, pero no me parece una buena razón, ya topología vino después (y habría estado de acuerdo, no importa la convención).

Answer 1

La verdadera pregunta es, ¿por qué es el $0<d_X(x,p)$ condición en la definición del límite?

Básicamente, no hace daño a permitir $x=p$ en la continuidad ejemplo, debido a que (1) sabemos que $p\in E$, y (2), cuando $x=p$, $d_Y(f(x),f(p))=0<\epsilon$, así que no hay razón para dejarlo fuera.

Esencialmente, en la continuidad caso, el caso de $x=p$ es trivialmente cierto.

Por otro lado, cuando se $p\in E$ en el límite de la definición, no queremos que el límite depende de $f(p)$, pero sólo en los valores de $F(x)$ al $x\neq p$.

Por ejemplo, cuando se $f(x)=0$$x\neq p$$f(p)=1$, queremos $\lim_{x\to p} f(x) = 0$, pero eso no sería cierto de $0<d_X(x,p)$ no fue una condición - sin esa condición, el límite no está definido.

Puntos aislados:

Consideramos puntos aislados de ser los puntos de continuidad porque queremos que, en general, que si:

$f:E\to Y$ es continua en a $p$ $p\in E'\subset E$ $f_{|E'}:E'\to Y$ a también ser continua en $p$.

Sin embargo, tenga en cuenta que la continuidad de la definición podría decir $0<D_X(x,p)$. Que no afecta a la continuidad en $p$ un poco, así que si usted quería definir todos los puntos aislados como los puntos de discontinuidad, te gustaría algún otra definición completamente.

Answer 2

Me parece bien que deje $x=p$ en la definición de continuidad, desde entonces $f(x)=f(p)$, y así $$d_Y(f(x),f(p))=0<\epsilon.$$ It just isn't very interesting. When simply discussing limits of functions, though, we may want to examine behavior near but not at a point (such as when taking derivatives), so we require $x\neq p$ en tales casos.

Nota: Es posible que $p$ es aislado en $X$, de modo que no podemos hablar sobre el límite de $x$ enfoques $p$ a todos. Una función de $f:X\to Y$ es continua en a $p\in X$ si y sólo si (i) $p$ es aislado en $X$ o (ii) $p$ es un punto límite de $X$$f(p)=\lim\limits_{x\to p}f(x)$.

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Edit: Incluso con su propuesta de modificar la definición de una función es necesariamente continua en puntos aislados de su dominio. Supongamos que $f:E\to Y$ $E\subseteq X$ $p$ un punto aislado de a $E$. En otras palabras, hay algo de $\delta>0$ tal que para cualquier $x\in E$, $d_X(x,p)<\delta$ si y sólo si $x=p.$, En particular, entonces, no es $x\in E$ tal que $0<d_X(x,p)<\delta$.

Ahora, tome cualquiera de las $\epsilon>0$. A continuación, para todos los puntos de $x$ el (vacío) establecer $$\{x\in E: 0<d_X(x,p)<\delta\},$$ we have that $$d_Y\bigl(f(x),f(p)\bigr)<\epsilon,$$ vacuously. Since $\epsilon>0$ was arbitrary, then $f$ is continuous at $p$, en virtud de su propuesta de modificar la definición. De hecho, su versión alterada es matemáticamente equivalente a Rudin de la versión.

Este tipo de vacuo verdad es molesto para muchos, y permitiendo $x=p$ como en Rudin la definición de continuidad nos permite evitar ese tipo de cosas. Como ya he dicho, permitiendo $x=p$ no es un problema, pero no es muy interesante. La razón principal por la que nos han de tener $0<...$ en el límite de la definición, pero no necesariamente en la continuidad de la definición, es así que podemos examinar los límites de las funciones (por ejemplo) extraíble discontinuidades en un punto, o los límites de las funciones como nos abordaje puntos en los que no se han definido.

Answer 3

En la situación en la que $p$ es un punto aislado, entonces la continuidad en $p$ garantizado no importa qué y no tiene sentido hablar sobre el límite de$f(x)$$x \to p$, así que vamos a suponer que $p$ no es aislado.

Una función que es continua en a$p$, en particular, ha de ser definido en $p$. Si usted lee la definición de límite de una función como la entrada de los enfoques $p$ detenidamente, te darás cuenta de que no requiere de la definición de la función en $p$, pero sólo en un conjunto que ha $p$ como un punto límite.

Answer 4

"Yo, sin embargo, que la continuidad en la p significa que el límite de la función en p existe y es igual a f(p), así que uno debe simplemente reemplazar p con f(p) de la definición de límite"

Al hacerlo, la definición lo dice para todos los $\epsilon>0$ hay $\delta>0$ que si $0<d_X(x,p)<\delta$$d_Y(f(x),f(p))<\epsilon$. Pero tenga en cuenta que si $d_X(x,p)=0$$x=p$$d_Y(f(x),f(p))=0$, de manera que uno puede trivialmente caída de la "$0<$".

Rudin estipula $d_X(x,p)>0$ en la definición de límite, por lo que puede decir cosas como $$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\text{stuff},$$ without having to worry that the fraction isn't defined at $h=0$.

Una posible definición más clara de $\lim_{x\to t} f(x)$ es el valor común de $\lim f(x_n)$ de todas las secuencias $x_n$ $X\backslash\{t\}$ tal que $x_n\to t$, siempre que estos límites existen y son iguales.