Las dimensiones de $V$ y $V^\perp$ son complementarias

Question

Declaración:

Que $V$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$. La forma bilineal $f(x,y) = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 - x_4y_4$ donde $x,y \in \mathbb{R}$. Que $V^\bot = \{ y \in \mathbb{R}^4 : f(x, y) = 0 \ \ \ \forall x \in V \}$.

Demostrar que $ \text{dim}(V) + \text{dim}(V^\bot) = 4$.

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Este problema actualmente tenía varios sub-problemas que ya yo lo he solucionado con éxito (por ejemplo, demostrar que $V^\bot$ es un subespacio, encontrar $V$de % que $ V \cap V^\bot \ne \{ 0 \} $).

He probado dando a base de $V \cap V^\bot$ y extenderlo a una base de $V$ y a base de $V^\bot$ pero yo no podía ir más lejos.

Te agradezco cualquier sugerencia. Gracias.

Answer 1

Escribir la forma bilineal como $f(x, y) = \langle Tx, y \rangle$ donde $T : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$ es invertible transformación lineal dada por $T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1, x_2, x_3, -x_4)$. A continuación, $V^\perp$ es sólo el complemento ortogonal de $T(V)$; por lo $\dim \ V^{\perp} + \dim \ T(V) = 4$. El dado de reclamación, a continuación, sigue señalando que $\dim \ T(V) = \dim \ V$ por invertibility de $T$. $\qquad \square$

Como Dylan elegante de la respuesta, en la anterior prueba que funciona para todos los no-degenerada formas bilineales $f(x,y)$. Esto es debido a que una forma bilineal $f(x,y)$ es no degenerada si y sólo si puede ser escrito como $\langle Tx, y \rangle$ para una invertible $T : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$.

Como nota final, creo que la prueba está estrechamente relacionada con la de Dylan respuesta. De hecho, cuando yo uso la transformación lineal $T$, considera que el isomorfismo $y \mapsto \langle Tx, y \rangle$. Del mismo modo, yo uso la relación entre las dimensiones de un subespacio y es ortogonal del complemento, mientras invoca la clasificación de nulidad teorema.

Answer 2

Esto no tiene mucho que ver con el particular campo de $\mathbf R$,$4$, o de la forma $f$—se obtiene una fórmula similar para cualquier no-degenerada forma bilineal en un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Sabemos que $f$ es no degenerada, porque la matriz de $f$ con respecto a la norma base determinante $-1$.

Por lo tanto $f$ induce un isomorfismo $\mathbf R^4 \to (\mathbf R^4)^*$ envío de $x$ a la funcional $y \mapsto f(x, y)$. Ahora se conforman con el mapa de restricción $(\mathbf R^4)^* \to V^*$, que es surjective. ¿Cuál es el núcleo de esta composición?

[El mapa de $(\mathbf R^4)^* \to V^*$ es dual a la inclusión $V \to \mathbf R^4$. Es surjective, ya que podemos encontrar una descomposición $\mathbf R^4 = V \oplus W$ y el uso de la característica universal del directo sumas de dinero para ampliar cualquier funcionales en $V$.]

Answer 3

Sólo para su información, discusión de Dylan es un estándar en la teoría de la forma bilineal y puede encontrarse en el capítulo 1 de más tratados sobre el tema. Por ejemplo, ver la Proposición 7 de estas notas.