¿Podemos suponer con seguridad que $\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\omega t}$ siempre en QM?

Question

En la partícula en una caja, el oscilador armónico y en el átomo de hidrógeno, podemos suponer con seguridad $$\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\omega t}.$$ Entonces, ¿por qué no hacer un postulado para considerar que la función de onda está siempre en la forma $$\psi(x)e^{-i\omega t}$$ Todavía podemos explicar todos los experimentos fundacionales, así que mi pregunta es por qué no hacer esta enmienda a la teoría para que podamos evitar un montón de pesadillas y algo de tranquilidad. ¿Por qué considerar innecesariamente cosas tan generales cuando podemos prescindir de cosas sencillas la mayoría de las veces?

Oh mi pregunta actual es ¿dónde nos encontramos con problemas (situaciones físicas prácticas/experimentos) si consideramos tal cosa? Si nos encontramos con problemas en alguna parte, espero hacer otros cambios sencillos para solucionarlos, pero sin retroceder en este.

Answer 1

No es general. Tanto para la oscilación armónica como para el átomo de hidrógeno, tenemos una Hamitloniana $\hat{H} = -\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 + V$ con un potencial independiente del tiempo, lo que implica que la ecuación de valores propios $\hat{H}\Psi(x,t) = E\Psi(x,t)$ es separable y, por tanto, podemos escribirlo como un producto de un factor independiente del tiempo y un factor independiente del espacio.

En otras palabras, $\Psi(x,t) = \Psi(x)e^{-i\omega t}$ es algo que obtenemos para los estados propios de energía con un Hamiltoniano independiente del tiempo. Una solución general es una superposición de múltiples estados propios de energía, y no va a tener esa forma.

Answer 2

Otra razón, aún no mencionada, es la superposición.

Para las técnicas de separación de variables, encontramos $\Psi(\mathbf{x},t)=\psi(\mathbf{x})f(t)$ para dar $$ \frac{i\hbar}{f(t)}\frac{df}{dt}=E=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{x})\right]\psi(\mathbf{x})\tag{1} $$ El término de la izquierda da $f\propto\exp\left[iEt/\hbar\right]$ , dándonos $$ \psi\left(\mathbf{x},t\right)=\psi(x)e^{iEt/\hbar}\tag{2} $$ Pero esto es un estacionario estado, pero la partícula que describe la ecuación (1) es no estacionario. Así, tenemos que el general es una superposición lineal de estados: $$ \psi\left(\mathbf{x},t\right)=\sum_ic_i\psi_i(x)e^{iE_it/\hbar} $$

Que no se puede separar en una forma como la ecuación (2).

Answer 3

Sólo cuando $V(\mathbf{x},t) = V(\mathbf{x})$ De lo contrario, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo no se separa en partes temporales y espaciales.

Cualquier dependencia temporal explícita en el problema y no se puede.

Answer 4

En una línea diferente a las otras respuestas, un ejemplo de problema físico en el que la solución no es separable es el considerado en Sakurai 2ª Edición, Capítulo 2.1, Pgs. 70 y 71 donde tenemos un momento magnético de espín en presencia de un campo magnético cuya intensidad puede cambiar con el tiempo, es decir $B(t)\neq B(0)$ o, lo que es más problemático, cuando la magnitud y la dirección del campo magnético cambian con el tiempo. En ambos casos, el hamiltoniano depende del tiempo y, por tanto, la solución no es separable.