Siempre se puede hacer con el producto de tres elementos, uno de ellos 1.
1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)/2
Encontrar a,b, de modo que n(n+1)/2−(1+a+b)=ab. Esto es fácil de hacer desde 1+a+b+ab=(1+)(1+b).
Así, cuando $$ n impar, elegir a=n−1,b=n−12. E. g., para n=7, lo que da 1⋅3⋅6=2+4+5+7.
Para n incluso a=n,b=n−22. Por ejemplo, n=6 produce a=6,b=2 y 1⋅2⋅6=3+4+5.
Cuando n<5, {a,b,1} no son distintas.
Es más difícil hacerlo en dos elementos en el producto. Entonces usted tendría ab=n(n+1)/2−(a+b) o (1+)(1+b)=n2+n+22. De modo que deberá factor n2+n+22 en dos distintos números de ≤n+1.
Usted puede hacer esto para n=17, por ejemplo, entonces n2+n+22=154=11⋅14. por lo que a=10,b=13. Entonces de10\cdot 13 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+11+12+14+15+16+17$$
La pregunta que surgió acerca de los productos de 4 números. Vamos a tratar de buscar respuestas simples, por lo que un producto de la forma 1⋅2⋅a⋅b=n(n+1)2−(a+b+1+2) o:
2ab+a+b+3=n(n+1)2 se Multiplican ambos lados por 2 y se obtiene:
(2a+1)(2b+1)+5=n(n+1)
Así tenemos que el factor n(n+1)−5 en dos números impares ≤2n+1. Por ejemplo, n=10 entonces n(n+1)−5=105=15⋅7. Por lo que a=3,b=7. Entonces:
1⋅2⋅3⋅7=4+5+6+8+9+10
Un ejemplo con el producto que contiene 5 elementos n=20, entonces:
1⋅2⋅3⋅4⋅8=5+6+7+9+10+⋯+20
Un ejemplo con un producto de 4 números, ninguno igual a 1 (n=26):
2⋅3⋅5⋅11=1+4+6+7+8+9+10+12+⋯+26
Otro con 4 en el producto:
3⋅5⋅7⋅16=58⋅592−(3+5+7+16)
Podemos obtener arbitrariamente larga soluciones de productos. Usted puede demostrar que para n=k!−k, vamos a A=k!2−k, entonces:
1⋅2⋅3⋯k⋅A=(k!−k)(k!−k+1)2−(1+2+⋯+k+A)
Por ejemplo:
4!⋅8=20⋅212−(1+2+3+4+8)5!⋅55=115⋅1162−(1+2+3+4+5+55)6!⋅354=714⋅7152−(1+2+3+4+5+6+354)7!⋅2513=5033⋅50342−(1+2+3+4+5+6+7+2513)
Más generalmente, si {xi}i=1,⋅,m son distintos a los enteros positivos con al menos uno incluso deja S=∑xi y P=∏xi. Entonces si S=k(k+1)2 k, entonces que A=P2−k y n=P−k. Entonces:
A⋅∏xi=n(n+1)2−(x1+⋯+xm+A)
Para pequeñas colecciones de pequeños valores de xi esto no siempre dan un buen$$, pero en la mayoría de los casos, lo hace.
Por ejemplo, 5+10=5(5+1)2. Para n=45 y A=20, y usted recibe 5⋅10⋅20=45⋅462−(5+10+20)
Esto significa que siempre podemos ampliar cualquier x1,⋯,xm, con una mayor de xm+1 entonces ∑m+1i=1xi es un número triangular, y luego encontrar el arriba. En efecto, podemos escribir una fórmula explícita. Si $S=\sum_{i=1}^m x_i$ y $P=\prod_{i=1}^m x_i$, a continuación, puede definir \begin{align}x_{m+1}&=2S(S-1)\\x_{m+2}&=PS(S-1)-2+1\\n&=2PS(S-1)-2+1.\end{align}$$
