Siempre se puede hacer con el producto de tres elementos, uno de ellos $1$.
$$1+2+3+4+\cdots +n = n(n+1)/2$$
Encontrar $a,b$, de modo que $n(n+1)/2-(1+a+b) = ab$. Esto es fácil de hacer desde $1+a+b+ab=(1+) (1+b)$.
Así, cuando $$ n impar, elegir $a=n-1,b=\frac{n-1}{2}$. E. g., para $n=7$, lo que da $1\cdot 3\cdot 6=2+4+5+7$.
Para $n$ incluso $a=n,b=\frac{n-2}{2}$. Por ejemplo, $n=6$ produce $a=6,b=2$ y $1\cdot 2\cdot 6=3+4+5$.
Cuando $n<5$, $\{a,b,1\}$ no son distintas.
Es más difícil hacerlo en dos elementos en el producto. Entonces usted tendría $ab=n(n+1)/2-(a+b)$ o $(1+) (1+b)=\frac{n^2+n+2}{2}$. De modo que deberá factor $\frac{n^2+n+2}{2}$ en dos distintos números de $\leq n+1$.
Usted puede hacer esto para $n=17$, por ejemplo, entonces $\frac{n^2+n+2}{2}=154=11\cdot 14$. por lo que $a=10,b=13$. Entonces $de$10\cdot 13 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+11+12+14+15+16+17$$
La pregunta que surgió acerca de los productos de $4$ números. Vamos a tratar de buscar respuestas simples, por lo que un producto de la forma $1\cdot 2\cdot a\cdot b = \frac{n(n+1)}{2}-(a+b+1+2)$ o:
$$2ab +a+b+3=\frac{n(n+1)}{2}$$ se Multiplican ambos lados por $2$ y se obtiene:
$$(2a+1)(2b+1)+5 = n(n+1)$$
Así tenemos que el factor $n(n+1)-5$ en dos números impares $\leq 2n+1$. Por ejemplo, $n=10$ entonces $n(n+1)-5=105=15\cdot 7$. Por lo que $a=3,b=7$. Entonces:
$$1\cdot2\cdot3\cdot 7 = 4+5+6+8+9+10$$
Un ejemplo con el producto que contiene $5$ elementos $n=20$, entonces:
$$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 8 = 5+6+7+9+10+\cdots + 20$$
Un ejemplo con un producto de $4$ números, ninguno igual a $1$ ($n=26$):
$$2\cdot 3\cdot 5\cdot 11 = 1+4+6+7+8+9+10+12+\cdots +26$$
Otro con $4$ en el producto:
$$3\cdot 5\cdot 7\cdot 16 = \frac{58\cdot 59}{2} - (3+5+7+16)$$
Podemos obtener arbitrariamente larga soluciones de productos. Usted puede demostrar que para $n=k!-k$, vamos a $A=\frac{k!}{2}-k$, entonces:
$$1\cdot 2\cdot3\cdots k\cdot A = \frac{(k!-k)(k!-k+1)}{2}-(1+2+\cdots + k + A)$$
Por ejemplo:
$$\begin{align}4!\cdot 8 &= \frac{20\cdot21}{2}-(1+2+3+4+8)\\
5!\cdot 55 &= \frac{115\cdot116}{2}-(1+2+3+4+5+55)\\
6!\cdot 354 &= \frac{714\cdot715}{2}-(1+2+3+4+5+6+354)\\
7!\cdot 2513 &= \frac{5033\cdot 5034}{2}-(1+2+3+4+5+6+7+2513)
\end{align}$$
Más generalmente, si $\{x_i\}_{i=1,\cdot,m}$ son distintos a los enteros positivos con al menos uno incluso deja $S=\sum x_i$ y $P=\prod x_i$. Entonces si $S=\frac{k(k+1)}2$ $k$, entonces que $A=\frac{P}{2}-k$ y $n=P-k$. Entonces:
$$A\cdot \prod x_i = \frac{n(n+1)}{2} - (x_1+\cdots + x_m + A)$$
Para pequeñas colecciones de pequeños valores de $x_i$ esto no siempre dan un buen$$, pero en la mayoría de los casos, lo hace.
Por ejemplo, $5+10=\frac{5(5+1)}2$. Para $n=45$ y $A=20$, y usted recibe $$5\cdot 10\cdot 20 = \frac{45\cdot 46}{2}-(5 + 10+20)$$
Esto significa que siempre podemos ampliar cualquier $x_1,\cdots,x_m$, con una mayor de $x_{m+1}$ entonces $\sum_{i=1}^{m+1} x_i$ es un número triangular, y luego encontrar el $$ arriba. En efecto, podemos escribir una fórmula explícita. Si $S=\sum_{i=1}^m x_i$ y $P=\prod_{i=1}^m x_i$, a continuación, puede definir $$\begin{align}x_{m+1}&=2S(S-1)\\x_{m+2}&=PS(S-1)-2+1\\n&=2PS(S-1)-2+1.\end{align}$$
