Para las distribuciones estables simétricas, ¿por qué es $\alpha \le 2$?

Question

Estoy preparando una conferencia sobre distribuciones estables, y estoy tratando de encontrar una explicación simple de la siguiente hecho.

Supongamos que estamos tratando de llegar a estable distribuciones. A partir de la definición, es claro que es una distribución estable iff su función característica $\phi$ satisface $\phi(t)^n = e^{i t b_n} \phi(a_n t)$. La distribución normal, con chf $\phi(t) = e^{-t^2/2}$ claramente satisface este con $b_n = 0$, $a_n = \sqrt{n}$. Esto sugiere que debemos buscar las distribuciones con chfs de la forma $\phi(t) = e^{-c |t|^\alpha}$. Para $0 \le \alpha \le 2$, esto es de hecho una de chf, y hay una bonita prueba en Durrett del libro, su construcción como un débil limitar el uso de Lévy continuidad teorema. Pero:

Para $\alpha > 2$, hay una simple razón por la $\phi(t) = e^{-c |t|^\alpha}$ no puede ser una chf?

Breiman la Probabilidad demuestra una fórmula general para la chf de una distribución estable, el uso de una fórmula de representación infinitamente divisible distribuciones, pero es más trabajo del que yo quiero hacer para este.

Answer 1

Si $\phi$ es una característica de la función, entonces, para todos los valores reales de a $s$ y $t$, $K(t,s)\geqslant0$ donde $K(t,s)$ es el factor determinante $$ K(t,s)=\det\begin{pmatrix}\phi(0) & \phi(t) & \phi(t+s) \\ \phi(-t) & \phi(0) & \phi(s) \\ \phi(-t-s) & \phi(-s) & \phi(0)\end{pmatrix}. $$ El uso de $\phi_\alpha(t)=\mathrm e^{-c|t|^\alpha}$ por cada $t$, se obtiene, para cada fijos $x$, $K_\alpha(t,xt)=c^2|t|^{2\alpha}k_\alpha(x)+o(|t|^{2\alpha})$ al $t\to0$, con $$ k_\alpha(x)=2x^\alpha(1+x)^\alpha+2x^\alpha+2(1+x)^\alpha−x^{2\alfa}−(1+x)^{2\alpha}-1. $$ Si $\alpha>2$, $k_\alpha(x)=−\alpha^2x^2+o(x^2)$ al $x\to0$ por lo tanto $k_\alpha(x)<0$ para algunos valores de $x$ $K_\alpha(t,tx)<0$ para algunos (pequeños) los valores de $t$$x$. Esto demuestra que $\phi_\alpha$ no es una característica de la función.

Primera edición Para demostrar que la condición de que $K$ es no negativa es necesaria para $\phi$ a ser una característica de la función, considere más general, de la matriz $M=(M_{k,\ell})$ donde $M_{k,\ell}=\mathrm E(\mathrm e^{\mathrm i(t_k-t_\ell)X})$ para ciertos números reales $(t_k)$. A continuación, para cada complejo con valores vectoriales $v=(v_k)$, $$ v^*Mv=\sum\limits_{k,\ell}M_{k,\ell}v_k\bar v_\ell=\mathrm E\left(\sum\limits_{k,\ell}Z_k\bar Z_\ell v_k\bar v_\ell\right)=\mathrm E\left(\left|\sum\limits_{k}Z_kv_k\right|^2\right), $$ con $Z_k=\mathrm e^{\mathrm it_kX}$, por lo tanto $v^*Mv\ge0$ por cada $v$. Esto significa que $M$ representa un positivo formulario, y en particular, $\det M\geqslant0$.

Segunda edición Aquí es una alternativa a prueba. Me parece recordar que el segundo momento de la $X$ con función característica $\phi$, sea finito o no, es $$ \mathrm E(X^2)=\lim\limits_{t\to0}\ t^{-2}(2-\mathrm E(\mathrm e^{\mathrm itX})-\mathrm E(\mathrm e^{-\mathrm itX})). $$ Asumiendo $\phi_\alpha$ es la función característica de a $X_\alpha$ y el uso de $\phi_\alpha(t)=1-c|t|^\alpha+o(|t|^\alpha)$ al $t\to0$, se pone en $\mathrm E(X_\alpha^2)=0$ al $\alpha>2$, lo cual es absurdo.