Riemann ' $\zeta$ función y la distribución uniforme en $[-1,0]$

Question

Parece que el $n$ th cumulant de la distribución uniforme en el intervalo $[-1,0]$ es $B_n/n$, donde $B_n$ $n$ ésimo número de Bernoulli.

Y también $-\zeta(1-n) = B_n/n$, donde $\zeta$ es la función de #% de %#% de Riemann.

¿Hay alguna razón por qué uno debe esperar a ser el mismo, a diferencia de las pruebas que convencerán de que son?

Answer 1

La función generadora de momento de $U([-1,0])$ es $\mathbb{E}(\mathrm{e}^{t u}) = \int_0^1 \mathrm{e}^{-t v} \mathrm{d} v = \frac{1}{t} \left(1 - \mathrm{e}^{-t}\right) $.

El cumulant que genera la función es el logaritmo de la función generatriz de momentos: $\mathcal{c}(t) = \log \left(\frac{1}{t} \left(1 - \mathrm{e}^{-t}\right) \right)$.

Ahora, encontrar $t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \mathcal{c}(t) \right)$: $$ \mathcal{c}^\prime(t) t = -1 + \frac{t}{\mathrm{e}^t-1} = \sum_{n \ge 1} \frac{t^n}{n!} B_n $$ y por lo tanto, integración de term-wise: $$ \mathcal{c}(t) = \sum_{n \ge 1} \frac{t^n}{n!} \frac{B_n}{n} $$

Por supuesto, esto es más del lado de derivación...