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divide

Describir los enteros positivos, n tal divide a que 3n+1 23n+1. Estoy un poco confundido acerca de lo que la pregunta-si me pide para encontrar todos estos enteros positivos, o si me pide demostrar que para cada entero positivo n, divide a 3n+1 23n+1. Por favor aclarar esta duda y si es la parte anterior, por favor verifique mi solución n = 1.

5voto

GiantTortoise1729 Puntos 574

Por inducción: caso n=0,1 es obvio, asume la reclamación por nN. Entonces, 23n+1+1=((23n+1)1)3+1=(23n+1)33(23n+1)2+3(23n+1) and by the induction hypothesis 3n+2 divides the last two terms. For the first term (call it a), induction again gives 3n+1 divides a1/3. Then, 3n+2 divides 33n+3 which divides a así que por transitividad hemos terminado.

5voto

user236182 Puntos 5045

Se desprende de uno de la elevación el exponente lemas (ELP):

Que υp(a) denotan el exponente de la potencia más grande de p que divide a.

Si p primer impar, nZ+ es impar, a,bZ, a\equiv -b\not\equiv 0\pmod{p}, entonces

\upsilon_p\left(a^n+b^n\right)=\upsilon_p(a+b)+\upsilon_p(n)

Por lo tanto \upsilon_3\left(2^{3^k}+1\right)=\upsilon_3(2+1)+\upsilon_3\left(3^k\right)=k+1. Así que de hecho, yo he probado un resultado más fuerte: tenemos 3^{k+1}\mid 2^{3^k}+1 y 3^{k+2}\nmid 2^{3^k}+1, para todos los k\in\mathbb Z_{\ge 0}.

3voto

Ishfaaq Puntos 6906

Realmente parece una prueba de la inducción. Que P(n) ser la instrucción: $$3^{n+1} \ \mid \ 2^{3^n} + 1

Entonces podemos comprobar que es verdad n = 1 desde 9 se divide. Así que suppoose P(n) es verdad. Ahora,

2^{3^{n+1}} + 1 = \left({2^{3^n}}\right)^3 + 1

Observe % \left({2^{3^n} + 1}\right)^3 = \left({2^{3^n}}\right)^3 + 3 \cdot \left({2^{3^n}}\right)^2 + 3 \cdot \left({2^{3^n}}\right) + 1

Así,\begin{align} \left({2^{3^n}}\right)^3 + 1 & = \left({2^{3^n} + 1}\right)^3 - 3 \cdot \left({2^{3^n}}\right)^2 - 3 \cdot \left({2^{3^n}}\right) \\ & = \left({2^{3^n} + 1}\right)^3 - 3 \cdot \left[{\left({2^{3^n } + 1}\right)^2 - 2\left({2^{3^n}}\right) - 1}\right] - 3 \cdot \left({2^{3^n} }\right) \\ & = \left({2^{3^n} + 1}\right)^3 - 3 \cdot \left({2^{3^n } + 1}\right)^2 + 3 \cdot \left({2^{3^n } + 1}\right) \\ & = \left({3^{n+1} \cdot k}\right)^3 - 3 \left({3^{n+1} \cdot k}\right)^2 + 3 \left({3^{n+1} \cdot k}\right) \\ & = 3^{n +2} \left({3^{2n+1} \cdot k^3 - k^2 + k}\right) \end {alinee el}

que implica %#% $ #%

Y así el resultado es cierto para cada $$3^{n+2} \ \mid \ 2^{3^{n+1}} + 1 $.

Para todos los enteros satisfacen la condición dada y esa es la respuesta a la pregunta pertinente.

2voto

J.Gudal Puntos 856

Podemos comprobar fácilmente que n=1 es una solución.

Asumir algunos k,

3^{k+1}|2^{3^{k}}+1, por lo tanto, existe un entero m, tal que,

m(3^{k+1})=2^{3^{k}}+1.

Entonces tenemos,

2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^{k}})^{3}+1=(2^{3^{k}}+1)[(2^{3^{k}})^{2}-2^{3^{k}}+1]=m(3^{k+1})[(2^{3^{k}})^{2}-2^{3^{k}}+1]. (*)

Ahora, por lo tanto, es claramente extraño todos enteros 3^{k}, k

(2^{3^{k}})^{2}-2^{3^{k}}+1 \equiv ((-1)^{3^{k}})^{2}-(-1)^{3^{k}}+1 \equiv 1+1+1 \equiv 0mod3.

Por lo tanto que,

(2^{3^{k}})^{2}-2^{3^{k}}+1=3n n Dónde está un número entero.

Continuando con (*), nos queda,

m(3^{k+1})[(2^{3^{k}})^{2}-2^{3^{k}}+1]=m(3^{k+1})[3n]=m(3^{k+2})(n)

Y así,

3^{k+2}|2^{3^{k+1}}+1.

Por lo tanto nuestra prueba inductiva es completa.

0voto

BobB Puntos 178

Una prueba sin la inducción puede ser determinado mediante la Elevación de La Exponente Lema. El uso de este lema también demostrar que 3^{n+2} no divide 2^{3^n}+1.

Por este lema mayor poder de 3 2^{3^n}+1 es igual a mayor de 3 en 3^{n} +energía mayor de 3 en 2+1 que es igual a n+1.

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