Demuestra que $ \frac4 {abcd} \geq \frac a b + \frac bc + \frac cd + \frac d a$

Question

Deje que $a, b, c$ y $d$ ser números no negativos, de tal manera que $a+b+c+d = 4$ . Demuestra que $$ \frac4 {abcd} \geq \frac a b + \frac bc + \frac cd + \frac d a .$$

¿Cómo abordaría esto usando sólo el AM - Desigualdad de los OGM ? ¿Hay algún otro método que no implique la desigualdad AM-GM?

Answer 1

Esta prueba utiliza la desigualdad del reordenamiento además del AM-GM. Después de multiplicar por $abcd$ nuestro problema equivale a resolver $$ a^2cd + ab^2d + abc^2 + bcd^2 \leq 4$$ Deje que $\{a,b,c,d\}=\{w,x,y,z\}$ con $w \ge x \ge y \ge z$ . Tenemos $$ a^2cd + ab^2d + abc^2 + bcd^2 = a(acd)+b(abd)+c(abc)+d(bcd)$$ y por el reordenamiento de la igualdad $$ a(acd)+b(abd)+c(abc)+d(bcd) \le w(wxy)+x(wxz)+y(wyz)+z(xyz)$$ $$ = (wx+yz)(wy+xz)$$ Por AM-GM, conseguimos $$ (wx+yz)(wy+xz) \le \left ( \frac {wx+yz+wy+xz}{2} \right )^2 = \frac {1}{4} \left ((w+z)(x+y) \right )^2$$ Otro AM-GM nos da $$ \frac {1}{4} ((w+z)(x+y))^2 \le \frac {1}{4} \left ( \left ( \frac {w+x+y+z}{2} \right )^2 \right )^2 = \frac {1}{4} \left ( \left ( \frac {4}{2} \right )^2 \right )^2 = 4$$ Así que tenemos $$ a^2cd + ab^2d + abc^2 + bcd^2 \leq 4$$ y además, tenemos $$ \frac {a}{b} + \frac {b}{c} + \frac {c}{d} + \frac {d}{a} \le \frac {4}{abcd}$$ Usted podría ser capaz de ajustar esto para evitar el uso de la reordenación, pero no pude encontrar una manera.