Es el cierre de un contable $G_\delta$ contables?

Question

Esto es en el espacio de Cantor ($2^\omega$ con la topología usual). En el curso de tratar de demostrar algo más, me he encontrado con ganas de demostrar que siempre que $X$ es una contables $G_\delta$, el cierre de la $\overline{X}$ también es contable.

Esto parece perfectamente razonable (tenga en cuenta que los contables de $G_\delta$ conjuntos son nada denso), pero me parece que no puede probar que (tenga en cuenta que el cierre de una contables de la nada denso conjunto puede tener fácilmente el tamaño de la continuidad tomar los extremos de un Cantor-como conjunto). Incluso peor, yo recuerdo vagamente que tiene este problema en un análisis de exámenes de años y conseguir que se haga.

Estoy seguro que me acabo de tener un momento tonto (no tuve éxito esta mañana en mi búsqueda para asegurar el café), pero: es el cierre de un contable $G_\delta$ subconjunto del espacio de Cantor, sí contables?

Answer 1

Esto no es cierto.

Déjame que piense de $C = 2^\omega$ como el conjunto de Cantor en $[0,1]$. Es homeomórficos a su plaza, así que voy a trabajar realmente en $C^2 \subset [0,1]^2$.

Deje $E_n$ ser los extremos de todos los intervalos restantes en el $n$th paso de la construcción de la $C$, lo $|E_n| = 2^{n+1}$. Deje $X = \bigcup_n E_n \times \{1/3^n\}$ que es contable, y de hecho, discreta.

Ahora, para cada $x \in E = \bigcup_n E_n$, claramente $(x,0) \in \overline{X}$. Pero $E$ es denso en $C$, por lo que tenemos $C \times \{0\} \subset \overline{X}$, y eso es incontable.

De hecho, podemos ver que $\overline{X} = X \cup C \times\{0\}$. Así que de vuelta en $C^2$, podemos escribir $X = \overline{X} \cap (C \times \{0\})^c$, que es la intersección de un sistema cerrado (por lo tanto,$G_\delta$) establecido y un conjunto abierto. Por lo tanto $X$$G_\delta$$C^2$.

Answer 2

Otro ejemplo: El conjunto X de mediados de los puntos del intervalo abierto removido durante la construcción de la ternario conjunto de Cantor $C$ es contable y $G_{\delta}$ y su cierre es $X \cup C$.