¿Por qué un capacitor bloquea corriente continua y no alterna?

Question

Si alguien puede explicar por qué un condensador bloquea corriente continua, pero no corriente alterna, con algo de matemáticas, lo entenderé todo mucho mejor. Sé que hay animaciones ilustrativas de esto, pero realmente quiero conocer esto un poco más detalladamente.

Answer 1

Respuesta conceptual: Los capacitores son básicamente dos placas que se montan una al lado de la otra, con un espacio entre ellas para que las placas no se toquen. Es por eso que se representa como --| |-- en un diagrama.

La corriente continua no puede saltar el espacio entre las placas, porque tomaría una cantidad masiva de voltaje para forzar al electrón a saltar el espacio entre las placas. Los electrones chocan contra la placa y se detienen.

Por otro lado, la corriente alterna mueve los electrones de un lado a otro en su lugar, por lo que la placa de un lado del capacitor constantemente tiene electrones empujados y luego sacados. Este movimiento crea un pequeño campo eléctrico que induce la misma corriente alterna en la otra placa, porque los campos eléctricos _pueden_saltar el espacio entre las placas.

Espero que eso ayude a tu comprensión general. Otras personas han publicado muchas matemáticas geniales, pero no vi mucho en cuanto a la comprensión conceptual de la física en juego.

Answer 2

Al parecer, las respuestas intuitivas no te funcionan, así que veamos la matemática.

Un condensador consiste en dos conductores separados por un aislante como vacío, aire, o un dieléctrico (aislante). Cuando aplicas un voltaje a través del espacio, un conductor adquiere una carga positiva en exceso mientras que el otro adquiere una carga negativa en exceso en igual magnitud pero de signo opuesto. La ecuación para esto es \$Q = CV\$, donde \$Q\$ es la carga en exceso y \$V\$ es el voltaje. La relación entre ambos se llama capacitancia (\$C\$), y está determinada por la geometría de los conductores y las propiedades del aislante.

En la teoría de circuitos, usualmente trabajamos con corriente, no con carga. Entonces, usualmente verás otra ecuación para condensadores:

$$i = C \frac {dv}{dt}$$

Veamos cómo funciona esto en un circuito RC simple.

simular este circuito – Esquema creado usando CircuitLab

Podemos usar la ley de Ohm y la ecuación del condensador para crear una ecuación KCL para el nodo \$v_o\$.

$$i_R = i_C$$ $$\frac {v_i - v_o} {R} = C \frac {dv_o}{dt}$$ $$RC \frac {dv_o} {dt} + v_o = v_i$$

\$v_i\$ y \$v_o\$ son funciones de \$t\$. Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Lo fácil que sea de resolver depende de \$v_i\$. La situación más simple es cuando \$v_i\$ es constante:

$$RC \frac {dv_o}{dt} = v_i - v_o$$ $$\int{\frac {dv_o} {v_i - v_o}} = \int \frac {1} {RC} dt$$ $$-\ln (v_i - v_o) = \frac t {RC} + C_0$$ $$v_i - v_o = e^{-t/RC}e^{-C_0}$$

\$C_0\$ es una constante de integración. Por simplicidad, le daremos a \$e^{-C_0}\$ el nombre \$C_1\$:

$$v_i - v_o = C_1e^{-t/RC}$$

Necesitamos una condición inicial para resolver por \$C_1\$. Esta condición es el valor de \$v_i - v_o\$ en \$t = 0\$. Si el capacitor está descargado, \$v_o(t=0) = 0\$ y \$C_1 = v_i\$, lo que da una decaimiento exponencial:

$$v_o = v_i - v_ie^{-t/RC}$$ $$v_o = v_i(1 - e^{-t/RC})$$

Si el capacitor está cargado, \$v_o(t=0) = v_i\$ y \$C_1 = 0\$, lo que nos da la condición DC:

$$v_o = v_i - 0 \cdot e^{-t/RC} = v_i$$

Así que en DC, el capacitor actúa como un circuito abierto. Pero, ¿qué se considera DC? Ningún voltaje es realmente constante por siempre. ¡Muchos ni siquiera son constantes por cinco minutos! La constante de tiempo \$RC\$ nos indica cuánto tiempo debemos esperar antes de que el voltaje del capacitor sea lo suficientemente estable para nuestras necesidades. Digamos que cerramos un interruptor y conectamos un voltaje DC a un capacitor descargado a través de una resistencia. ¿Cuánto tiempo tarda en estabilizarse el voltaje del capacitor al 0.1% de su valor final?

$$v_o = 0.999v_i = v_i(1 - e^{-t/RC})$$ $$e^{-t/RC} = 0.001$$ $$t = -RC \ln 0.001$$

Si \$R = 10\ k\Omega\$ y \$C = 1\ \mu F\$, la respuesta es 69 milisegundos.

Ahora que tenemos una definición práctica de DC, veamos la corriente alterna (AC). Solo vamos a considerar sinusoides aquí, ya que puedes expresar cualquier señal en términos de sinusoides usando transformadas de Fourier. Volvamos a nuestra ecuación diferencial:

$$RC\frac {dv_o} {dt} + v_o = V_i \cos (\omega t)$$

Hay un poco de trigonometría complicada aquí que no voy a explicar. En lugar de eso, te daré la versión corta. Basándote en la forma de la ecuación diferencial, asumes que \$v_o\$ debe ser algo como:

$$v_o = A \cos (\omega t) + B \sin (\omega t)$$

Luego, después de mucho más trabajo, descubres que la respuesta final es:

$$v_o = \frac {V_i} {\sqrt {1 + (\omega R C)^2}} \cos (\omega t - \tan^{-1} (\omega RC))$$

¡Nota que la amplitud del voltaje del capacitor depende de la frecuencia así como de la constante de tiempo RC! Esto se debe a que estamos tomando derivadas de sinusoides, y las derivadas de las sinusoides son proporcionales a su frecuencia:

$$\frac {d}{dt} A \cos (\omega t + \phi) = A \omega \cos (\omega t + \phi)$$

También nota que este voltaje tiene la misma frecuencia que el voltaje de entrada, pero una amplitud y fase diferentes.

Resolver ecuaciones diferenciales como esta es difícil y lleva tiempo. Afortunadamente, hay una forma más fácil: el análisis fasorial. En lugar de usar senos y cosenos con valores reales, usamos exponenciales complejas como \$e^{j \omega t}\$. Estas hacen que las ecuaciones diferenciales sean mucho más simples, permitiendo que la frecuencia (que siempre es la misma) desaparezca por completo, dejándonos solo con amplitudes y fases. Podemos combinarlas en valores complejos individuales.

$$v_c = V_C e^{j \omega t}$$ $$i_c = I_C e^{j \omega t + \phi} = I_C e^{j \omega t} e^\phi$$ $$i_C = C \frac {dv_c}{dt}$$ $$I_C e^{j \omega t} e^\phi = C \frac {d}{dt} V_C e^{j \omega t}$$ $$I_C e^{j \omega t} e^\phi = j \omega C V_C e^{j \omega t}$$ $$I_C e^\phi = j \omega C V_C$$ $$\frac {V_C} {I_C} e^{-\phi} = \frac 1 {j \omega C}$$

$$Z_C = \frac 1 {j \omega C}$$

Esta "impedancia" actúa como una resistencia de valor complejo, y sigue una regla similar a la Ley de Ohm. Como puedes ver, también depende de la frecuencia angular \$\omega\$. La relación entre corriente y voltaje es grande cuando la frecuencia es grande y pequeña cuando la frecuencia es pequeña. En los extremos decimos que un condensador actúa como un circuito abierto a DC y como un circuito cortocircuitado a altas frecuencias. Esto significa que en DC, puedes aplicar un voltaje grande a través de un condensador sin que pase corriente a través de él. A altas frecuencias, puedes hacer pasar una corriente grande a través de un condensador sin ver un voltaje a través de él.

Espero que esta respuesta gigantesca haya aclarado algunas cosas. Por favor, si hay algo que no entiendes, no dudes en hacer preguntas de seguimiento.

Answer 3

Conocemos que la reactancia, \$X_C\$, de un capacitor se da por:

$$ X_C = \frac{1}{2\pi f C} $$

Y sabemos que la frecuencia de corriente continua (DC) es 0 (Cero). Si resolvemos la ecuación anterior, obtendremos \$X_C = \infty\$, lo que significa un valor muy alto de resistencia, por lo que el capacitor bloquea la corriente continua.

Para la señal de corriente alterna (AC) habrá un valor conocido de frecuencia y tendrá alguna reactancia finita, un valor conocido de impedancia.

Esta es la razón por la cual el capacitor bloquea la corriente continua y no la alterna.

Answer 4

La corriente que atraviesa un capacitor es proporcional al cambio de voltaje a través del capacitor \$\Big(\dfrac{dV}{dt}\Big)\$. Por lo tanto, \$i=C \dfrac{dV}{dt}\$. Entonces, si \$\dfrac{dV}{dt}\$ es cero, lo cual es el caso, por definición, en corriente continua, la corriente es cero.

Answer 5

Probablemente sea más fácil mirar la física. Un condensador es básicamente un aislante situado entre placas de metal. Puede que pienses que un aislante bloquearía toda la corriente, y eso definitivamente explica el comportamiento en corriente continua.

Con corriente alterna, sin embargo, los electrones que fluyen hacia el lado negativo no pueden saltar al otro lado. Sin embargo, esa otra placa de metal tiene bastantes electrones propios, y esos son repelidos por los nuevos electrones. Esos electrones salen por el otro lado. Pero ahora tienes un campo eléctrico sobre el aislante.

Esta situación no puede aumentar para siempre. No puedes seguir empujando más y más electrones en la placa negativa, y además no quedan suficientes electrones para repeler desde el lado positivo. Pero con corriente alterna, el flujo de electrones se invierte periódicamente. Todos esos electrones apretujados en el lado negativo saldrán corriendo, y los electrones que fueron repelidos anteriormente volverán corriendo al lado positivo. A mitad del ciclo, ambos lados metálicos son eléctricamente neutrales, y en la segunda mitad del ciclo los electrones fluyen ahora hacia lo que antes era el lado positivo.

De hecho, el aislante permite solo un número limitado de electrones para fluir en el lado negativo del condensador, pero con corriente alterna esos electrones fluirán hacia afuera en la otra mitad de cada ciclo.