¿La notación de intervalo $[a,b]$ implican que $a<b$ ?

Question

Si se muestra un intervalo $[a,b]$ son $a$ y $b$ se supone que es tal que $a,b\in\mathbb{R}$ y $a\le b$ ¿se escribe simplemente así, o deben especificarse como tales?

Answer 1

Esto se define en el Norma internacional ISO 31-11 .

Fragmento extraído de esta norma:

$[a, b]$ intervalo cerrado en $\Bbb R$ de $a$ (incluido) a $b$ (incluido) $$[a, b] = \{x \in\Bbb R ∣ a\le x \le b\}.$$

En otras palabras, no hay ninguna suposición a priori sobre la relación entre $a$ y $b$ .

Answer 2

De forma más general, definimos los intervalos en cualquier conjunto (parcialmente) ordenado como: $$[a,b]=\{x:a\leq x \leq b\}$$ lo que implica que si $a>b$ el intervalo está vacío. Sin embargo, incluso con esta definición, es perfectamente sensato escribir $[1,0]$ - es que no hay nada en ese intervalo.

En general, consideraría que una cláusula como:

Para $a>b$ , considere el intervalo $[a,b]$ ...

para ser una cosa perfectamente natural para escribir si usted va a utilizar más tarde el hecho de que $a>b$ (Si no utiliza nunca este dato, es mejor que lo omita). Lo que hay que transmitir es que estamos considerando un intervalo cerrado, y que estamos tomando $b$ para ser su máximo.

Sin duda, cabe destacar que no es inédito pensar en $[a,b]$ como igual a $[b,a]$ , ya que los teoremas a menudo son agnósticos al orden de los puntos finales y a veces es más conveniente hacerlo así, sin embargo, si se utilizan intervalos de esta manera, es prudente tomar nota de ello. (Sin embargo, tampoco es muy común explotar el hecho de que $[a,b]=\emptyset$ para $a>b$ Así que si vas a depender de esto de alguna manera no trivial, es bueno ser explícito sobre eso también)

Answer 3

$[a,b]$ se define como $\{x \in \mathbb{R} ∣ a \leq x \leq b\}$ y significa $a$ y $b$ también pueden ser iguales, en ese caso $[a,b]$ se reduce a un punto.

Answer 4

Si $a\lt b$ entonces

$$ [a, b] =\left\{x: x\in\mathbb{R}\land a\leq x \leq b\right\} $$ $$ [a, b) = \left\{ x: x\in\mathbb{R}\land a\leq x \lt b \right\} $$ $$ (a, b] = \left\{ x: x\in\mathbb{R}\land a \lt x \leq b \right\} $$ $$ (a, b)= \left\{ x: x\in\mathbb{R}\land a \lt x \lt b \right\} $$

Si $a= b$ entonces

$$ [a, b] =\{a\}=\{ b \}$$ $$ [a, b) = (a, b]=(a, b)=\varnothing $$

Si $a\gt b$ entonces

$$ [a, b]=[a, b) = (a, b]=(a, b)=\varnothing $$

Así que no, el intervalo de $[a, b]$ no implica que $a\leq b$ . Primero debemos conocer los valores de $a$ y $b$ para determinar qué valores están en $[a, b]$ si es que existe.

Answer 5

Sí, se entiende implícitamente que $a<b$ ya que el primer número representa siempre el extremo izquierdo y el segundo el derecho.