Michael Spivak en "Cálculo" afirma que $\sqrt2$ no se puede demostrar que exista, y que tal prueba es imposible. ¿Qué quiere decir con "existir"?

Question

Michael Spivak en "Cálculo" afirma que $\sqrt2$ no se puede probar que exista, y que tal prueba es imposible. ¿Qué quiere decir con "existir"? ¿Cómo se puede probar que cualquier número "existe"? ¿Por qué no podemos definir $\sqrt2$ como un número que se ajusta a alguna definición arbitraria de existencia, mientras afirmamos que su expresión más concisa es con una raíz funcional?

Lo siento si estas preguntas parecen un poco ingenuas; de alguna manera se asemeja a un niño de 8 años preguntando repetidamente "por qué". Pero dado que su prosa es muy concisa y técnica, su uso de "existir" fue fuera de lo común.

(Usé dos etiquetas representando el campo de estudio del libro; y una que representa la etiqueta relevante real.)

editar

Oh, lo siento. Cité mal. Sin embargo, mi pregunta sigue en pie; ¿cómo ha definido la existencia de manera que $\sqrt2$ podría no estar dentro de ella?

Cita directa: "No hemos probado que tal número exista..." en referencia a $\sqrt2$.

Answer 1

El punto que Spivak está haciendo es que las propiedades de los números que se han estudiado hasta ese punto en el libro no son suficientes para demostrar que hay un número cuyo cuadrado es 2. Esto se deduce de la prueba de que ningún número racional logrará esta tarea. Dado que los números racionales cumplen todas las propiedades hasta ese punto, está claro que se necesita alguna otra propiedad (y que los racionales no pueden tener esta propiedad). Esa propiedad es completitud y es la que caracteriza a los números reales. Usando la completitud, uno puede y logra demostrar que hay un número positivo cuyo cuadrado es 2; lo llamamos $\sqrt2$.

Answer 2

El punto de Spivak es: no se puede demostrar que $\rm\:x^2\!-\!2\:$ tiene una raíz en $\rm\:\mathbb R\:$ usando solo los axiomas $\rm\: P1\!-\!P12,\:$ es decir, los axiomas para un campo ordenado, ya que acaba de demostrar que no tiene raíz en el campo ordenado $\rm\mathbb Q.\:$

Answer 3

Spivak dice que $\,\sqrt{2}\,$ existe significa que hay un número real $\,x\,$ tal que $\,x^2=2\,$, y esto no se puede demostrar con el conocimiento asumido en la página 26 de su libro.

Answer 4

En realidad, hasta ese punto, la propiedad del límite superior mínimo no era conocida. Y es imposible probar (la existencia de raíces) sin usar la propiedad del límite superior mínimo. Lee el capítulo $7$ del mismo libro, está bien explicado al final

Answer 5

La construcción de los números irracionales se puede realizar de varias formas. Puedes pensar en ellos como la "completación" de los números racionales en el sentido de que después de agregarlos a la mezcla, cada secuencia de Cauchy será convergente. También puedes construir los números irracionales a través de cortes de Dedekind. Si mal no recuerdo, esto se hace hacia el final del libro.