¿Cómo sé que la categoría derivada NO es abeliana?

Question

He escuchado la afirmación de que la categoría derivada de una categoría abeliana es en general aditiva pero no abeliana. Si esto es cierto, debería haber algún ejemplo de juguete de un (co)núcleo que debería estar ahí pero no lo está, o algo parecido (para el caso, podría hacer la misma pregunta sólo sobre la categoría de homotopía).

A menos que me equivoque, la categoría derivada de una categoría semisimple no es más que una versión graduada de ℤ de la categoría original, que debería seguir siendo abeliana. Así que, aunque no tengo motivos para dudar de que se trate de un caso realmente especial, estaría bien tener un contraejemplo ilustrativo para, por ejemplo, los grupos abelianos.

Answer 1

Creo que lo siguiente es suficiente...

Lema Todo monomorfismo en una categoría triangulada se divide.
Prueba: Sea $T$ sea una categoría triangulada y supongamos que $f\colon x\to y$ es un monomorfismo. Completa esto con un triángulo
$x \stackrel{f}{\to} y \stackrel{g}{\to} z \stackrel{h}{\to} \Sigma x$
entonces $f\circ \Sigma^{-1}h = 0$ ya que podemos girar hacia atrás y los mapas en triángulos se componen a cero. Como $f$ es un monomorfismo deducimos que $\Sigma^{-1}h$ y por lo tanto $h$ son cero. Pero esto implica que $y\cong x\oplus z$ (una prueba de esto se puede encontrar en la primera parte de mi respuesta aquí para que $f$ es un monomorfismo de división.

Como todo núcleo es un monomorfismo obtenemos el siguiente contraejemplo. El mapa
$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ no tiene un núcleo en $D(Ab)$ en virtud del hecho de que $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ es indecomponible. Por supuesto, lo mismo funciona en la categoría de homotopía.

Answer 2

Incluso la categoría de homotopía K(A) no es abeliana. dada cualquier f en C(A) el morfismo 1: cono(f) ---> cono(f) es homotópico a 0. pero la homotopía para sus núcleos no tiene sentido. Bueno, esto es un poco vago, pero se puede precisar.