enésimo término de secuencias

Question

Soy un estudiante de Doctorado que imparte a tiempo parcial en una escuela secundaria y me di cuenta de algo cuando secuencias de enseñanza de hoy en día. Le pedí a mis alumnos a encontrar el n-ésimo término (término general) para algunas secuencias. Se observó:

Si $a_n=n$, a continuación, las primeras diferencias se $1$.

Si $a_n=n^2$, en el segundo las diferencias se $2$.

Si $a_n=n^3$, en el tercer diferencias se $6$.

Si $a_n=n^4$, en el cuarto las diferencias se $27$.

Así que ahora puede construir una secuencia: $1,2,6,27,120,720,...$

¿Cuáles son estos números? Puedo encontrar $a_n$? Cómo?

Gracias!

Answer 1

Su $27$ debe $24$. Ahora es fácil ver que el patrón!

Editado para añadir: Para ver por qué, tomar (por ejemplo) $a_n=n^4$. La primera diferencia es

$a_{n+1}-a_n = (n+1)^4 - n^4 = 4n^3 +$ inferiores a los poderes de $n$

Así que la cuarta diferencia es cuatro veces la tercera diferencia de $n^3$ más de la tercera diferencia de potencias inferiores a de $n$. Potencias inferiores a cero tercera diferencia, así que esto es $4 \times 6 = 24$.