Dada una propiedad $P$, hay algunas reglas que son suficientes o necesarios para determinar si existe un conjunto de todos los conjuntos con propiedad $P$?
Respuestas
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En ZFC, los siguientes son equivalentes:
- La clase $\{x\mid P(x)\}$ es un conjunto.
- Hay un ordinal $\alpha$ de manera tal que siempre que $P(x)$, $x$ tiene rango en la mayoría de los $\alpha$.
- Hay un conjunto $B$ de manera tal que siempre que $P(x)$,$x\in B$.
- No hay ninguna clase de función $F$ de la clase $\{x\mid P(x)\}$ en los ordinales.
- Hay un ordinal $\theta$ tal que no es función de mapeo de $\{x\mid P(x)\}$ a $\theta$.
- Hay un conjunto $C$ tal que no es función de mapeo de $\{x\mid P(x)\}$ a $C$.
- Hay un ordinal $\theta$ que no mapa injectively en $\{x\mid P(x)\}$.
- Hay un conjunto $D$ que no mapa injectively en $\{x\mid P(x)\}$.
Prueba. (1 iff 2) Si la clase es un conjunto, entonces debe ser que en algunas de las $V_\alpha$, por lo que cada elemento tendrá rango en la mayoría de los $\alpha$. Lo contrario es el axioma de Separación.
(2 iff 3) el Uso que cada $V_\alpha$ es un conjunto, y cada conjunto está contenida en algunos $V_\alpha$.
(1 implica 4) Los ordinales no son un conjunto, por lo que este sigue por el axioma de Reemplazo.
(4 implica 2) Mapa de cada una de las $x$ que $P(x)$ mantiene a su rango.
(1 implica 5) Para cada conjunto, hay un ordinal en la que no se asigna, a saber, el sucesor de su cardinalidad.
(5 iff 6) Cada conjunto es bijective con un ordinal.
(5 implica 7) Si una clase no mapa surjectively en $\theta$, $\theta$ no mapa injectively en la clase.
(7 iff 8) Cada conjunto es bijective con un ordinal.
(7 implica 2) Si $\theta$ no mapa injectively en $\{x\mid P(x)\}$, luego de que la clase no puede contener conjuntos de arbitrariamente grande de rango.
QED
Mientras tanto, las siguientes nociones son estrictamente más débil en ZFC, si ZFC es consistente:
- Hay un mapa de los ordinales a $\{x \mid P(x)\}$.
- Hay un bijection de $\{x\mid P(x)\}$ con los ordinales.
- Hay un bijection de${x\mid P(x)}$$V$, todo el conjunto de la teoría de universo.
No hay razón de que son más débiles en general es que es relativamente consistente con ZFC que no es definible (a partir de parámetros) buen orden del universo. En un modelo de $V$, no hay ninguna clase surjection o bijection de los ordinales a $V$, ya que esto podría proporcionar el deseado bien el pedido, pero $V$ no es un conjunto. Del mismo modo, en un modelo de este tipo, no hay bijection de la clase de los números ordinales para el universo entero, pero la clase de los números ordinales no es un conjunto. Este modelo puede ser construido mediante el forzamiento de la técnica, por un Easton apoyo de la iteración en la que añade una Cohen subconjunto a unboundedly muchas regular de los cardenales.
Adenda. Permítanme añadir que no puede ser puramente sintáctica de la caracterización de las propiedades de $P$ que $\{x\mid P(x)\}$ es un conjunto. La razón es que algunas de las propiedades de determinar conjuntos en algunos modelos de ZFC, pero no en otros. Así que la pregunta de si esta clase es un conjunto no sólo depende de las características sintácticas de $P$, pero en las propiedades del universo en el que la clase es para ser formado. Un ejemplo de esto es la propiedad $P(x)\iff CH\wedge x=x$, lo que determina un conjunto sólo en caso de $\neg CH$.
kd7
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Si la propiedad $\mbox{P}$ es expresable por un equivalente de primer orden de la fórmula $\varphi(x)$ de la teoría de conjuntos en la variable libre $x$, un exacto (es decir, suficiente y necesario) condición para la existencia de algún conjunto $A$ de todos los conjuntos de $x$, los cuales satisfacen $\mbox{P}$$\mbox{ZFC}$, es decir, para
$\models_{ZFC} \exists A \forall x (x \in A \leftrightarrow \varphi(x))$,
es por algunos axioma de la separación de la condición
$\models_{ZFC} \exists B \forall x (\varphi(x) \rightarrow x \in B)$.
I. e. usted necesita sólo por el teorema de completitud de la lógica de primer orden para
- express $\mbox{P}$ como un equivalente de primer orden de la fórmula $\varphi(x)$ de la teoría de conjuntos,
- encontrar algo adecuado establecer $B$, y
- demostrar $\vdash_{ZFC} \forall x (\varphi(x) \rightarrow x \in B)$ en su metatheory.
