¿Existe alguna función que tenga la expansión en serie $x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+\cdots$ ?

Question

$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+ \cdots$$

¿Existe una $f(x)$ que tiene la serie de $n$ ¿las raíces?

$$f(x)= x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+ \cdots$$

Wolfram Alpha parecía no entender mi entrada.

Answer 1

Para $x>0$ tenemos $\sqrt[n]x\to 1$ por lo que la serie no puede converger

Answer 2

Su serie no converge porque como dijo Hagen von Eitzen $\sqrt[n]x\to 1$ como $n\to\infty$ .

Aunque si lo consideras:

$$g(x)=(\sum_{k=1}^nx^{1/k})-n-\ln(x)\ln(n)$$

Como $n\to\infty$ esto sí converge y tiene la expansión de la serie alternativa:

$$g(x)=\gamma\ln(x)+\sum_{m=2}^\infty\frac{\zeta(m)}{m!}\ln(x)^m$$

Dónde $\zeta$ es la función zeta de Riemann, $\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^s}$ .

También aparecen series de aspecto similar en las expansiones de las funciones de recuento de primos. Por ejemplo, la función de Von Mangoldt se suele utilizar como sustituto para contar primos debido a su "agradable" naturaleza aritmética y una vez que se ha obtenido una expresión para una suma en la que interviene la función de Mangoldt. Invertirla de nuevo en una serie que incluya sólo primos requiere introducir muchas raíces enteras.

Por ejemplo, observe las dos muy buenas aproximaciones asintóticas para la función de recuento de primos $\pi$ y la primera función de Chebyshev $\vartheta$ que dan estas series de aspecto similar:

$$\sum_{p\leq x}1=\pi(x)\sim \sum_{m=1}^\infty\frac{\ln(x)^m}{mm!\zeta(m+1)}$$ $$\sum_{p\leq x}\ln(p)=\vartheta(x)\sim \sum_{m=2}^\infty\frac{\ln(x)^m}{m!\zeta(m)}$$

Que aparecen como resultado de sus inversiones con otras funciones relacionadas con la función Mangoldt:

$$\Pi(x)=\pi(x)+\frac{1}{2}\pi(x^{1/2})+\frac{1}{3}\pi(x^{1/3})+\frac{1}{4}\pi(x^{1/4})+\frac{1}{5}\pi(x^{1/5})+\dots$$

$$\psi(x)=\vartheta(x)+\vartheta(x^{1/2})+\vartheta(x^{1/3})+\vartheta(x^{1/4})+\vartheta(x^{1/5})+\vartheta(x^{1/6})+\dots$$

Donde tenemos eso:

$$\Pi(x)=\sum_{2\leq n\leq x}\frac{\Lambda(n)}{\ln(n)}$$ $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$

Con $\Lambda$ la función de Von Mangoldt que aparece en las sumas parciales anteriores.

Aunque asumo por tu imagen y nombre de MSE que probablemente ya estás familiarizado con muchas de estas cosas, ya que los términos de error en las series se pueden escribir como sumas sobre los ceros de la función zeta.

Answer 3

Esto no es exactamente una respuesta... pero la pregunta me parece intrigante y quiero saber si se ha estudiado antes. A quién le importa si no converge ?

Lo interesante de su serie es que como los denominadores de los exponentes no están acotados, no es una Serie Puiseux ni siquiera un Serie Hahn (del que nunca había oído hablar) porque el conjunto de exponentes no está bien ordenado.

Answer 4

Para $x>0,~x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+...$ no puede converger ya que $x^{\frac{1}{n}}\to1.$ Tampoco lo hace para $x<0$ desde $x^{\frac{1}{2}}$ es indefinido entonces. Así que la única posibilidad es la trivial: $$f:\{0\}\to\mathbb R:0\mapsto 0$$