Donde fue/es Compensada Compacidad utilizado?

Question

Este pasado verano, que leer sobre el Sarro del llamado Método de la Compensado Compacidad (o, al menos, cómo se aplica a leyes de conservación escalares). He utilizado esta teoría para demostrar la existencia de $L^{\infty}$ soluciones para el escalar de la ley de conservación de la $u_{t}+(f(u))_{x}=0$ inicial de datos en $L^{\infty}$. Aquí no necesitamos tener un sentido estrictamente hiperbólico la ley de la conservación. Tal vez suponga $f\in C^{2}$. Las fuentes que he usado para mi presentación fueron de Yunguang Lu el libro de Leyes de Conservación Hiperbólicas y la compensación Compacidad Método y Dafermos del libro Hypberbolic Leyes de Conservación en el Continuum de la Física.

Soy consciente de que Compensado la Compacidad puede ser usado para demostrar la existencia de soluciones a $2\times 2$ sistemas de leyes de conservación. Yo no he mirado más de esta prueba, pero creo que Lu cubre esto.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Dónde está el método de la Compensado Compacidad utilizado? Si usted puede decir, si es posible, podría dar un bruto, un breve esbozo de cómo el método se utiliza? Cualquier entrada/pensamientos se agradece.

Answer 1

Compensado compacidad ayuda cuando uno tiene que encontrar el límite de $u_n \cdot v_n$, donde las secuencias de campos vectoriales $u_n$ $v_n$ converge débilmente en $L^2$: $u_n\rightharpoonup u$, $v_n\rightharpoonup v$. Si ninguna de las secuencias converge fuertemente en $L^2$, los campos vectoriales todavía puede poseer algunas propiedades adicionales que podría compensar la falta de una fuerte convergencia. Por ejemplo, el siguiente resultado y sus versiones se utilizan a menudo en la homogeneización de la teoría.

Lema. Vamos $u_n$, $v_n\in L^2(\Omega)$, donde $\Omega$ es un dominio acotado en $\mathbb R^d$ y dejar $u_n\rightharpoonup 0$, $v_n\rightharpoonup 0$ en $L^2(\Omega)$. Suponga que $$\mbox{curl }v=0\qquad \mbox{and}\qquad \mbox{div } u_n\to w\quad \mbox{in }\ H^{-1}(\Omega).$$ Then $u_nv_n\uv$ in the weak-* topology of $L^1(\Omega)$.

El lema puede ser utilizada para justificar la convergencia de las soluciones del problema de Dirichlet con fuertemente oscilante de los coeficientes de $$\mbox{div }\left (\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\nabla u_\epsilon\right)=f,\qquad \a la izquierda.u\right|_{\partial\Omega}=0,$$ para las soluciones de algunas promedio problema (véase, por ejemplo, "la Homogeneización de los operadores diferenciales e integrales funcionales" V. V. Jikov, S. M. Kozlov, O. A. Oleinik).

Answer 2

Además de demostrar la existencia de soluciones para una gran clase de los no lineales de ecuaciones diferenciales parciales, entre ellas las leyes de conservación, compensado compacidad también se utiliza para mostrar la convergencia de los métodos numéricos para aproximar las soluciones. Dada una ecuación de $P(u)=0$, uno construcsts por el método que sea (diferencias finitas, elementos finitos, espectral,...) de una secuencia de aproximaciones $u_n$. Entonces uno trata de demostrar:

1. la secuencia de $\{u_n\}$ converge en un poco de sentido a alguna función $u$;
2. esta función $u$ es una solución de el problema original;
3. un eror estimación de $u-u_n$.

Entonces, si es lo suficientemente buena a priori, las estimaciones son conocidos por $u_n$, el método de compensado compacidad puede dar 1. y 2.Este plan se lleva a cabo por ejemplo aquí y aquí,