¿Hay alguna $n$ que $ n^4+n^3+n^2+n+1$ es un cuadrado perfecto?

Question

¿Hay alguna positivo $n$ que $ n^4+n^3+n^2+n+1$ es un cuadrado perfecto?

He tratado de simplificar

\begin{align*} n^4+n^3+n^2+n+1 &= n^2(n^2+1)+n(n^2+1)+1\\ &= (n^2+n)(n^2+1)+1 \\ &= n(n+1)(n^2+1)+1 \end{align*} Entonces supuse que la expresión anterior es un cuadrado; luego

$$ n(n+1)(n^2+1)+1 = k^2$$

$$ \begin{align*} n(n+1)(n^2+1) &= (k^2-1) \\ &= (k+1)(k-1) \end{align*} $$

A continuación, tratando de razonar con los factores primos, pero no puede encontrar una prueba concreta todavía.

Answer 1

Si desea que los números positivos $n$,

Creo que podemos demostrar que

$$(2n^2 + n)^2 \lt 4(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1) \lt (2n^2 + n + 1)^2$$

para $n \gt 3$.

Nota: Una similar a la desigualdad puede ser dado por la negativa $n$.

Answer 2

Aquí está mi respuesta!

H. Bensom, Alemania