Supongamos $a,b \in GL(n,\mathbb{C})$, e $\langle a,b\rangle$ es un grupo libre de rango $2$.
Es allí una manera de elegir un $c$ a garantizar que $\langle a,b,c\rangle$ es un grupo libre de rango $3$?
Respuesta
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Sí. Nota primero que basta para responder a la pregunta en $\textit{SL}(2,\mathbb{C})$. En particular, si $A,B\in\textit{GL}(2,\mathbb{C})$, vamos a $\hat{A},\hat{B}$ ser múltiplos escalares de $A,B$ que se encuentran en $\textit{SL}(2,\mathbb{C})$, y supongamos que existe un $C\in\textit{SL}(2,\mathbb{C})$, de modo que $\langle\hat{A},\hat{B},C\rangle$ es un grupo libre de rango $3$. A continuación, para cualquier palabra $w(x_1,x_2,x_3)$ en el grupo libre $\langle x_1,x_2,x_3\rangle$ si $w(A,B,C) = I$, $w(\hat{A},\hat{B},C)$ tendría que ser un escalar matriz, y por lo tanto se encuentran en el centro de la $\langle\hat{A},\hat{B},C\rangle$, lo cual es imposible. Llegamos a la conclusión de que $w(A,B,C) \ne I$ todos los $w$, y, por tanto, $\langle A,B,C\rangle$ es gratis.
Así que supongamos $A,B\in\textit{SL}(2,\mathbb{C})$ $\langle A,B\rangle$ es libre de rango $2$. Considerar el grupo $\textit{SL}(2,R)$ donde $R$ es el anillo de $\mathbb{C}[t_1,t_2,t_3,t_4]/(t_1t_4-t_2t_3-1)$, y vamos a $$ T \;=\; \begin{bmatrix}t_1 & t_2 \\ t_3 & t_4\end{bmatrix}. $$ Tenga en cuenta que $T$ es invertible $R$, con $$ T^{-1} \;=\; \begin{bmatrix}t_4 & -t_2 \\ -t_3 & t_1\end{bmatrix}, $$ y, por tanto,$T \in \textit{SL}(2,R)$. A continuación, $\langle A,B,T\rangle$ debe estar libre, ya que cualquier elemento de a $\langle A,B\rangle$ puede ser sustituido por $T$, y el grupo libre $\langle A,B\rangle$ no tiene no trivial de las leyes.
Ahora, si $w = w(x_1,x_2,x_3)$ es no trivial de la palabra en el grupo libre $\langle x_1,x_2,x_3\rangle$, la ecuación $$ w(a,B,T) \;=\; I $$ es equivalente a la de un no trivial del sistema de ecuaciones polinómicas en $t_1,t_2,t_3,t_4$, que definen una adecuada subvariedad $V_w$$\textit{SL}(2,\mathbb{C})$. Pero $\textit{SL}(2,\mathbb{C})$ no puede ser expresado como una contables de la unión de una adecuada subvariedades, y por lo tanto no existe una matriz de $C\in\textit{SL}(2,\mathbb{C})$ que no se encuentran en cualquier $V_w$. A continuación, $\langle A,B,C\rangle$ es gratis.
Prácticamente hablando, la manera de elegir a $C$ es elegir un genérico de la matriz, es decir, una matriz cuyas entradas no satisfacen ningún ecuaciones polinómicas sobre el campo generado por las entradas de $A$$B$.
