Cómo encontrar soluciones naturales de la ecuación?

Question

Cuando estoy en la resolución de problemas, estoy a menudo se enfrentan a la resolución de ecuaciones, y cuando estoy en la resolución de ecuaciones, estoy a menudo se enfrentan a encontrar las soluciones naturales de estas ecuaciones.

Mi personal real insolvable problema es : Cómo determinar las soluciones naturales de la ecuación ? Por ejemplo, vamos a tomar esto más bien simple ecuación :

$9 = a+b$

Quiero resolver, a sabiendas de que $a$ $b$ son números naturales. ¿Cómo puedo obtener todas las posibles respuestas ? ¿Estoy obligado a probar cada posible valor de$a$$b$ ? Necesito de Matemáticas de la sabiduría.

Answer 1

$a+b=9$

Observe que $(a,b)=(1,8)$ es una solución particular a la ecuación, y la nula solución es $(-t, t)$. Todas las soluciones en enteros puede ser dado por: $\text{particular solution + null solution} = (1,8)+ (t,-t) = \color{red}{(1+t, 8-t)}$

Puesto que usted quiere soluciones en productos naturales:

$1+t > 0$ $8-t > 0$

que es lo mismo que $\color{Red}{-1\lt t\lt 8}$

así que estos $t$ valores de darle todas las soluciones en productos naturales : $\{(1+0,8-0), (1+1,8-1), \cdots (1+7,8-7)\} \\\{(1,8), (2,7), \cdots (8,1)\} $

Eso es todo por el problema de ejemplo. La próxima, a ver si se puede extender esto a la solución de $a+b= \text{any number}$, y, finalmente, tratar de resolver el lineal de la ecuación de diophantine : $ax+by=c$

Answer 2

La ecuación de $a+b=9$ representa una línea de $L$ en el plano Euclidiano con coordenada horizontal $a$ y la coordenada vertical $b$. Gráfico de la línea de $L$. A continuación, busque aquellos entero entramado de puntos que están contenidos en la línea de $L$ y en el interior del primer cuadrante.

Answer 3

Las soluciones de $\in \mathbb{N}$ , lo $a,b>0$

$$a+b=9 \Rightarrow b=9-a$$

$$b>0 \Rightarrow 9-a>0 \Rightarrow a<9$$

$$$$

$$a+b=9 \Rightarrow a=9-b$$

$$a>0 \Rightarrow 9-b>0 \Rightarrow b<9$$

Por lo tanto,estas condiciones deben ser satisfechas:

$$a+b=9, 0<a<9,0<b<9$$