No estoy seguro de que exista una referencia escrita al respecto.
Permítanme hacer un resumen rápido de lo que puedo decir. Sabemos que las clases son en realidad fórmulas con una variable libre. Por lo tanto, podemos manipular las clases de la misma manera que manipulamos las fórmulas, con el hecho añadido de que podemos codificar todo tipo de estructura en los conjuntos.
Por ejemplo, si $A=\{x\mid A(x)\}$ y $B=\{x\mid B(x)\}$ entonces la unión sería disyunción; la intersección sería conjunción. Hasta ahora esto es realmente lo mismo que las fórmulas que se manipulan.
Si queremos tomar un producto cartesiano podemos utilizar el hecho de que podemos definir pares ordenados, y así $$A\times B=\{z\mid z=\langle x,y\rangle\land A(x)\land B(y)\}$$
Esto puede llegar a ser intensamente complejo utilizando todo tipo de fórmulas locas. Lo que no puede es hablar de las clases como objetos reales. No se puede decir que "existe una subclase", o "la colección de todas las subclases" - aunque se puede hablar de colección de todos los subconjuntos: $$\mathcal P(A)=\{x\mid\forall y(y\in x\rightarrow A(y))\}=\{x\mid x\subseteq A\}$$
Se puede hablar de la existencia de subclases externamente Y si tienes la suerte de poder demostrar que también son definibles internamente. Por ejemplo, se puede hablar externamente de la clase de los ordinales o de los conjuntos de ordinales, y como se trata de definiciones bastante sencillas esto también es definible internamente.
Supongo que si quieres dar algún ejemplo reciente que te haya molestado podría intentar ayudar a resolverlo.
En los comentarios, David pregunta sobre las relaciones de equivalencia y el cociente de relaciones de equivalencia. El problema aquí es que a menudo el espacio cociente es una colección de clases de equivalencia, y si las clases de equivalencia no son conjuntos entonces este objeto ni siquiera es definible en ZFC.
Sin embargo, podemos utilizar el truco de Scott para superar este problema. El truco de Scott hace un uso intensivo del axioma de regularidad, y sus dos usos comunes son definir cardinales en ZF y demostrar que se puede hablar de ultrapoderes internamente.
Supongamos que $\varphi(x,y)$ es una fórmula que define una relación de equivalencia. Definimos $$A_\varphi=\{x\mid \varphi(x,A)\land\mathrm{rank}(x)\text{ is minimal for this property}\}$$ Es decir, si $\varphi(x,A)$ es verdadera y $x\in A_\varphi$ entonces no hay $y$ cuyo rango es menor que el de $x$ y $\varphi(y,A)$ .
Por el hecho de que todos los conjuntos de $A_\varphi$ tienen el mismo rango ahora podemos demostrar que este i un conjunto, ya que está acotado por algún $V_\alpha$ . Es posible que haya una elección canónica de representante, o es posible que no haya ninguna. Pero no nos importa.
Ahora podemos hablar de $C/\varphi = \{A_\varphi\mid A\in C\}$ como una colección de clases de equivalencia, y $A_\varphi=B_\varphi$ si y sólo si $\varphi(A,B)$ es cierto como se quería.
Si $C/\varphi$ es un conjunto (por ejemplo, si se puede demostrar que sólo puede haber un conjunto-muchos de clases de equivalencia), entonces utilizando el axioma de elección -si existe- es posible simplemente elegir un sistema de representantes, pero como las clases de equivalencia en sí mismas no tienen por qué ser conjuntos, todavía habría que utilizar el truco de Scott para definir la colección de la que se está eligiendo.
