La comprensión de los Detalles de la Construcción del Producto Tensor

Question

Esto es esencialmente un seguimiento a esta pregunta aquí. Específicamente, estoy estudiando la construcción del tensor producto de dos espacios vectoriales, como se indica por la OP 2º definición. Es decir, que el producto tensor de dos espacios vectoriales $V$ $W$ es el cociente del espacio de $V \times W / E$ donde $E$ es el subespacio de $V \times W$ generados por las combinaciones lineales de la forma

$$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) $$ $$ (v, w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2) $$ $$ (av, w) - (v,w) $$ $$ (v,aw) - (v,w) $$

También podemos indicar un elemento de este cociente espacio por $v \otimes w$. Ahora, estoy tratando de entender exactamente por qué se sigue de esta construcción que, por ejemplo, $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Creo que se sigue de la siguiente argumento:

En primer lugar, tomamos nota de que

$$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) = (v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) $$

Por definición de lo que significa ser un cociente de espacio, esta última ecuación significa que

$$ [ (v_1 + v_2, w)] = [(v_1, w) + (v_2, w)] $$

donde $[ \cdot ]$ denota la inducida por la clase de equivalencia. Pero, de acuerdo a la definición de la $\otimes$ operador, podemos expresar esta igualdad como

$$ (v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w $$

Es este argumento válido y es esta la forma más adecuada para pensar acerca de estas cosas?

Answer 1

Usted tiene un par de ideas falsas de aquí.

En primer lugar, el producto tensor no está definido como el cociente del espacio vectorial $V\times W$. En su lugar, considere la posibilidad de un espacio vectorial $Z$ cuya base elementos son los elementos de $V\times W$. Así, por ejemplo, si $V=W=\mathbb{R}$, tendría una base de elemento por $(1,0)$, otro elemento base para $(2,0)$, otro elemento base para $(3,0)$, etc. Es por eso que en ese post están escritos con corchetes dobles, para no confundir $Z$$V\times W$.

Tenga en cuenta que esta es la manera más grande de $V\times W$. El espacio vectorial $V\times W$ tiene dimensión $\dim(V)+\dim(W)$. El espacio vectorial $Z$ tiene dimensión $|V\times W|$, que es, generalmente, mucho más grande! Para $V=W=\mathbb{R}$, $V\times W$ tiene dimensión $2$, pero $Z$ tiene dimensión $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$.

Así que usted tiene una base de elemento por cada elemento de a $V\times W$; usted debe pensar en la $V\times W$ como el conjunto de índices para la base. La base del elemento $[[v,w]]$ es la base del elemento que se corresponde con el elemento $(v,w)$$V\times W$.

A continuación, $E$ es el subespacio de $Z$ generados ser todas las relaciones que escribir; así que, en mi ejemplo anterior, usted tendría el vector $2[[1,0]]-[[2,0]]$$E$, etc.

Ahora, la imagen de la base de vectores $[[v,w]]$ en el cociente se denota por a $v\otimes w$. Así que en general no todos los vectores de $Z/E$ que puede ser escrito como $v\otimes w$: estas son sólo las imágenes de la base de $Z$. Así que usted sabe que estos elementos generan $Z/E$, pero ellos no tienen que ser todos los de $Z/E$ (en general, no se). Los elementos de $Z/E$ son combinaciones lineales de estos "puro tensores" $v\otimes w$.

Así que, ¿por qué seguir a partir de la construcción de ese $(v_1+v_2)\otimes w = (v_1\otimes w) + (v_2\otimes w)$?

Esta igualdad está diciendo que la clase de equivalencia de a $[[v_1+v_2,w]]$ es la misma que la clase de equivalencia de a $[[v_1,w]]+[[v_2,w]]$ en el cociente. Por definición de cociente, esto es lo mismo que decir que el vector $$[[v_1+v_2,w]] - [[v_1,w]] - [[v_2,w]]$$ de $Z$ se encuentra en el subespacio $E$. Pero está en el subespacio $E$ porque es uno de los elementos generadores de $E$. De modo que la igualdad tiene en $Z/E$.