Un Handwaving Prueba Específica de un Teorema de Existencia y Unicidad

Question

Mi problema es el siguiente:

Dado el segundo orden de la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+c\,y(x)=0,$$ hay una buena heurística que explica por qué el conjunto solución es de la forma $\{Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\}$ o $\{Ae^{\alpha x}+Bxe^{\alpha x}\}$.

El fondo es que me estoy enseñando a los ingenieros el método de la resolución de estas ecuaciones, pero como todo lo demás me gusta darles una razón de por qué funciona el método.

Me puede explicar por qué podría buscar soluciones de la forma$e^{rx}$, ¿por qué algo como $Ae^{rx}$ será una solución y por qué si $y_1$ $y_2$ son soluciones lo es $y_1+y_2$. Me puede explicar la no-homogéneo caso y por qué tenemos de vez en cuando para mirar a prueba de soluciones de la forma $xy_H$ --- donde: $y_H$ es una solución de la ecuación homogénea.

El problema se produce cuando trato y explicarles por qué las soluciones tienen que ser de dos dimensiones y que no necesitamos tres soluciones linealmente independientes (en el caso homogéneo).

Lo mejor de mi mano saludando argumento hasta ahora es que en una solución tendremos que integrar dos veces en algún lugar y así vamos a terminar con dos constantes de integración decir $C_1$$C_2$, por lo que nuestra solución será $$y_H=y(x,C_1,C_2)$$ pero he tenido que onda muy duro, de hecho, para convertir esto en $y_H=Ay_1+By_2$.

Estas no son las matemáticas de los estudiantes, pero siempre traté de hacer varios malos argumentos a lo largo de las líneas del 'núcleo' del operador $\displaystyle D^2=\frac{d^2y}{dx^2}$ ser de dos dimensiones, y que la adición de $bD$ $cI$ distorsiona el 'kernel', pero no la dimensión de la misma (me pregunto este argumento puede ser rigurosa).

Alguno de vosotros mejores ideas? Entiendo que podemos mostrar, a partir de la Singularidad y de la Existencia Ecuación que las soluciones deben tener esta forma... la ironía es que estoy feliz de esbozar un argumento de plausibilidad de que el hecho de que --- el cual se deja sin prueba en la mayoría de los ODE clases --- pero el viaje a la conclusión, que se realiza en estas clases, está más allá del alcance y de los intereses de esta clase.

Espero un comentario a lo largo de las líneas de ellos son ingenieros, a quién le importa?

Tengo que hacer!

Answer 1

Espero ser útil.

1 - Si $\alpha\neq \beta$, para cualquier condición inicial $y(t_0)=y_0$ $y'(t_0)=y_1$ siempre podemos resolver $$ Ae^{\alpha t_0}+Be^{\beta t_0}=y_0 \\ Un\alpha e^{\alpha t_0}+B\beta e^{\beta t_0}=y_1 $$ desde $$ \left(\begin{array}{cc}e^{\alpha t_0} & e^{\beta t_0} \\ \alpha e^{\alpha t_0} & \beta e^{\beta t_0}\end{array}\right) $$ es no singular.

Entonces no hay necesidad de una tercera función para resolver el dado por la ecuación diferencial.

La misma idea de si $\alpha=\beta$.

2 - Factorización: $$ ay"+by'+cy=a\,(\frac{d }{d x}-\alpha I)( \frac{d}{dx}-\beta I)\,[y] $$

Answer 2

No quiero poner a nadie abajo, pero por encima de todo, invariablemente, ser demasiado "mathematicky" para algunos de los ingenieros. (No es de extrañar, ya que se niega a abandonar sus matemáticas nido siquiera por un segundo.) Explicando que $y=C_1 y_1 + C_2 y_2$ se puede hacer más simple y (afortunadamente) menos rigurosamente por medio de los siguientes dos argumentos:

En primer lugar, sus ingenieros reconocerán esto como la ley de Newton, que están familiarizados con exactamente b/c que son ingenieros. No es del todo difícil convencerlos de que usted necesita para darle a su solución general "espacio" para acomodar... ¿qué necesitamos para dar cabida a (pedir)? ¿Qué Newton requieren para darnos el total de la trayectoria de un cuerpo - por ejemplo, de un cuerpo unido a un resorte y un amortiguador (como en tu ejemplo)? Pat verbalmente en la parte posterior de la primera persona en decir ', la posición y la velocidad.' Que dos constantes - gran. Pero, ¿cómo son estas constantes combinado en la solución general?

Bueno, vamos a echar un vistazo a que la educación a distancia de nuevo. ¿Cómo puedo resolverlo si yo no sé que tengo que buscar exponenciales y todo? Lo que yo haría es, me gustaría tener mi ODA & inicial de posición/velocidad (anota) y resolver la educación a distancia para $y''$ (resolver). Llego $y'' = (-b/a)y' - (c/a)y$, que es una combinación lineal. Puedo hacer el mismo truco w/ el 3 de derivados por la diferenciación (ambos lados) de la eq. (hacerlo de forma explícita) y la sustitución de la 2ª derivada de la aplicación de la lin. peine. de los dos primeros - voila (mostrar cómo se hace), otra combinación lineal. y así sucesivamente - que ahora debe estar feliz de creer. ¿Por qué es útil? Pero, por supuesto, porque tengo las expansiones de Taylor en mi mente. Anote Taylor hasta el $t^3-$términos y enchufe para los coeficientes. Reorganizar en algo de la forma $C_1 y_1(t) + C_2 y_2(t)$ (realmente, realmente lo hace). Hay que ir.

Por cierto, la persona que utiliza la ingeniería de productos de cuidado exactamente b/c son ingenieros, y eso sería... esperar, casi todo el mundo, incl. las personas que viajan en coches y trenes y aviones en movimiento en una situación potencial de trituración - para ellos - velocidades, las personas que viven cerca a la energía nuclear/química de las fábricas de bombas (¿quién no?), y así sucesivamente. Pero no es como si a los fanáticos de las matemáticas va a desaparecer de la noche a la mañana...

Answer 3

Para el problema modelo $$\frac{d^2y}{dt^2}-b\frac{dy}{dt}-c\,y(t)=0$$ vamos $x_1=y(t)$, $x_2=y'(t)$ y escribir como un sistema: \begin{align} x_1'(t) &= x_2(t) \\ x_2'(t) &= c\,x_1(t) + b\,x_2(t). \end{align} Dejando $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T$ escribir en forma matricial como $$ \mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ c & b \end{bmatrix} \mathbf{x}(t). $$ Ahora sólo necesitas creer en/motivar exponencial de soluciones para el sistema de primer orden $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$. Es bastante fácil ver que si $\mathbf{v}$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$ que $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ es una solución. Ahora esperemos que sus conocimientos de álgebra lineal patadas, haciendo que la naturaleza de la dimensión del espacio de soluciones muy claro.

La forma de la matriz es supremamente importante para los ingenieros. Es útil para la visualización de los análisis de estabilidad, se explica que la palabra polinomio característico, que motiva a la diagonalización y forma normal de Jordan de matrices, se tiene conexiones para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales numéricamente... podría seguir... pero lo más importante es que debe generar preguntas en la mente del estudiante:

• ¿Qué sucede si tenemos menos vectores propios de la orden de la ecuación?
• ¿Qué sucede con la repetición de autovalores?
• Hace este trabajo de orden superior ecuaciones?
• ¿Qué acerca de las ecuaciones no homogéneas?

Answer 4

Creo que es esencial que los ingenieros a entender que, bajo ciertas condiciones, la educación a distancia tiene una solución única para cada condición inicial, pero usted está buscando para la intuición aquí. Usted puede lidiar con esto sin apelar a las contracciones y la integridad de la $C^n[0,1]$. Si es o no lo que sigue es intuitiva es discutible, pero no hay ninguna mano que se agita.

Para simplificar la vida, vamos a $D = \frac{d}{dx}$, como de costumbre. En primer lugar, considere la ecuación $(D-\lambda) x = f$, $x(0) = x_0$, donde $\lambda \in \mathbb{C}$, e $f$ es continua. Estamos buscando a $C^1$ soluciones en, digamos, $[0,1]$. Considere los siguientes pasos: $$ (D-\lambda) x = f $$ $$ e^{-\lambda t} ((D-\lambda) x)(t) = e^{-\lambda t} f(t) $$ $$ D( s \mapsto e^{-\lambda s} x(s) ) (t) = e^{-\lambda t} f(t) $$ $$ e^{-\lambda t} x(t) - x_0 = \int_0^t e^{-\lambda \tau} f( \tau ) d \tau$$ $$ x(t)= e^{\lambda t } x_0 + \int_0^t e^{\lambda (t-\tau)} f( \tau ) d \tau$$ Hay dos puntos aquí: (1) La última ecuación nos da una solución explícita, por lo que la existencia es dada. (2) Si $\tilde{x}$ es otra solución, entonces los pasos anteriores muestran que $\tilde{x} = x$, por lo tanto tenemos la exclusividad. Establecimiento $f=0$ muestra por qué la ecuación de $(D-\lambda) x = 0$ tiene soluciones de la forma $t \mapsto e^{\lambda t } x_0$, y por qué la totalidad de la solución depende de un único estado inicial $x_0$. Esto establece el escenario para el 2º fin de ecuaciones.

Ahora consideremos las ecuaciones de la forma $(D-\lambda_1) (D-\lambda_2) x = 0$, $x(0) = x_0$, $x'(0) = x_0'$, es decir, cualquier lineal invariante en el tiempo (LTI) de 2º orden del sistema. Nos dividimos en dos sistemas: (1) $(D-\lambda_1) g = 0$, $g(0) = g_0 = x_0' - \lambda_2 x_0$, y (2) $(D-\lambda_2) x = g$, $x(0) = x_0$.

Vemos inmediatamente que $ g(t)= e^{\lambda_1 t } g_0 $, y $ x(t)= e^{\lambda_2 t } x_0 + \int_0^t e^{\lambda_2 (t-\tau)} e^{\lambda_1 \tau } g_0 d \tau$. El resultado de la integral depende de si o no $\lambda_1 = \lambda_2$. En cualquier caso, es inmediato que (como en 'el único') solución en el lapso de $t \mapsto e^{\lambda_k t}$ (o $t \mapsto e^{\lambda_1 t}$ $t \mapsto t e^{\lambda_1 t}$ si $\lambda_1 = \lambda_2$).

El mismo razonamiento anterior nos da existencia y unicidad.

Lo anterior muestra que la solución depende de dos dimensiones de las condiciones iniciales.

Como un aparte, creo que el anterior conduce de forma muy natural en la forma de la matriz (es decir, un sistema de primer orden en dos variables), en relación a los valores propios, Jordania formulario de orden superior, los sistemas, la exponencial de una matriz, etc. Sería conveniente señalar que mucho de esto se generaliza más allá de finito-dimensional sistemas LTI, pero más de la maquinaria y los supuestos son necesarios.