La mediana de la distribución F

Question

Es la mediana de la distribución F con m y n grados de libertad disminuyendo en n, para cualquier m?

A partir de experimentos que parece que podría ser, pero no he sido capaz de demostrarlo.

Answer 1

Este oficialmente libres para descarga del"Manual de Estadísticas de distribución" muestra que (mediante su notación) la distribución acumulativa (cdf) de la distribución F se puede escribir como la cdf de una nueva Beta de la variable: $$\int_{0}^{F_a} f\left(F;m,n\right)dF=1-a=\frac{B_x(\frac m2,\frac n2)}{B(\frac m2,\frac n2)}\equiv G_B(x;\frac m2,\frac n2),\;x=\frac{mF_a}{n+mF_a}$$ Por otra parte, con base en esta fuente la mediana de una $B(\alpha,\beta)$ la distribución, para $\alpha>1, \beta>1$ es de aprox. igual a $ \frac {\alpha -\frac 13}{\alpha +\beta -\frac 23}$. En nuestro caso esta fórmula aproximada tiene por $m\gt 2, n \gt2$. Para este caso, entonces tenemos (ajuste $a=\frac 12$)

$$\frac{mF_\frac 12}{n+mF_\frac 12} \approx\frac {\frac m2 -\frac 13}{\frac m2 +\frac n2 -\frac 23}$$ Haciendo el álgebra llegamos a

$$F_\frac 12\approx \frac{n}{3n-2}\frac{3m-2}{m}$$ y así $$\text{sign} \left(\frac {\partial}{\partial n} F_\frac 12\right)=\text{sign} \left(\frac {\partial}{\partial n} \frac{n}{3n-2}\right)= \text{sign} \left(3n-2 - 3n\right) \lt 0$$

Para el caso de $\alpha =1 \Rightarrow m=2$ tenemos (fuente) $$\frac {mF_\frac 12}{n+mF_\frac 12} = 1-\frac {1}{2^{(2/n)}}$$

lo que conduce de nuevo a una relación negativa entre la mediana de la distribución F y el denominador grados de libertad.

No tengo ninguna prueba para el resto de grados de libertad. El $F(1,n)$ distribución es la distribución de un cuadrado del Estudiante-t de la variable aleatoria, si eso ayuda.