Cómo el máximo de un proceso Gaussiano ser aproximada por una finito-dimensional de Gauss variable?

Question

Considere un conjunto compacto $K$$\mathbb{R}^p$, y deje $W$ ser una media de cero continuo proceso Gaussiano en $K$, lo que significa que $W$ toma sus valores en el espacio de funciones continuas de$K$$\mathbb{R}$, y además, para todos los $n$ y $x_1,\ldots,x_n\in K$, $(W(x_1),\ldots,W(x_n))$ es Gaussiano con media cero.

Desde $K$ es compacto, $K$ puede ser cubierto por un número finito de bolas de radio $\varepsilon$. Fix $\varepsilon>0$. Considere la posibilidad de un revestimiento con bolas de tener centros de $x_1,\ldots,x_k$.

Pregunta: bien Cómo es la distribución de la supremum $\sup_{x\in K}W(x)$ aproximado por la máxima $\max_{i\le k}W(x_i)$?

Mi propio interés en esto se deriva de la pregunta de comprensión cuando el supremum de la norma de una secuencia de procesos de Gauss converge débilmente: espero que para dilucidar esta mediante la aproximación de la suprema por finito de máximos. No es un a priori claro lo que es una buena medida de la distancia entre la distribución de las $\sup_{x\in K}W(x)$ $\max_{i\le k}W(x_i)$ sería. Varias posibles opciones que se presentan a sí mismos: Por ejemplo, el total de la variación de la distancia, el Levy-Prokhorov distancia y el test de Kolmogorov distancia. La distribución de $W$ es exclusivamente especificados por su covarianza de la función, por lo que cualquier obligado en la distancia, naturalmente, sería en términos de la función de covarianza de $W$.

Answer 1

El supremum de un proceso Gaussiano es difícil de manejar, y una manera de hacerlo es utilizar el encadenamiento de¹, que se basa en el $\epsilon$-net de $K$ para el canónica de pseudo-distancia: $$d^2(x,y) = \mathbb{V}[W(x)-W(y)] = k(x,x)-2k(x,y)+k(y,y)\,,$$ donde $k(x,y)$ denota la covarianza de la GP. Con este pseudo-distancia en la mano, definir la cobertura de los números de $N(\epsilon,K,d)$ el mínimo número de bolas de tamaño $\epsilon$ wrt $d$ necesario para cubrir $K$. Entonces usted tiene el general superior de la envolvente: $$\mathbb{E}[\sup_{x\in K}W(x)] \leq C \int_0^{\sup_{x,y\in K}d(x,y)} \sqrt{\log N(\epsilon,K,d)} \mathrm{d}\epsilon\,.$$ Además, si se le da un $\epsilon$-net $x_1,\dots,x_k$, entonces es posible demostrar que: $$\mathbb{E}[\sup_{x\in K}W(x)-\max_{i \leq k} x_i] \leq C \int_0^\epsilon \sqrt{\log N(\epsilon',K,d)} \mathrm{d}\epsilon'\,.$$ Tenga en cuenta que este hecho va a $0$ al $\epsilon$ tiende a $0$. También es posible obtener el alta probabilística de la contraparte de tales límites (en lugar de sólo la expectativa).

En su caso, el $x_i$ no e $\epsilon$-net de $K$ con respecto al $d$, pero con respecto a la métrica de $K$. Por lo tanto, primero se necesita para proporcionar una cota superior de a $d(x,y)$ en términos de la métrica de $K$. Te aconsejo que lea Grünewälder et. al., (2010), donde la respuesta a esta pregunta para el caso de Bandido Problema.

---

¹

Véase, por ejemplo, el Capítulo 13 de la Concentración de las Desigualdades. No asintótica en la teoría de la independencia, Boucheron, Lugosi, Massart