Problema de la integral definida

Question

Estaba resolviendo un problema de integral definida que se reducía a : $$\int^{1}_{0} \frac{\ln(1+t)}{t} dt$$

No pude resolverlo y cuando vi la solución, la respuesta se daba simplemente como $\frac{\pi^2}{12}$ y afirmó que se trata de una identidad.

¿Puede alguien darme una prueba de esta identidad?

Answer 1

\begin{align*} \int_0^1 \frac{\log(x+1)}{x} \, dx &= \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{n-1}}{n}dx\\ &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{n}dx\\ &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2}\\ &= \frac{\pi^2}{12}\\ \end{align*}

Para calcular esa suma, vamos a suponga que que el valor de la siguiente serie $$S_n = 1 + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$$

Ahora bien, si consideramos sólo los valores pares,

\begin{align*} S_{2n} &= \frac 1 {2^2} + \frac 1 {4^2} + \frac 1 {6^2} + \dots \\ &= \frac{1}{2^2 \cdot 1} + \frac 1 {2^2\cdot 2^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} + \dots \\ &= \frac{1}{4} S_n\\ &= \frac{\pi^2}{24}\\ \end{align*}

Para obtener el valor de nuestra serie, tomamos $S_n - 2 S_{2n}$ .