Para responder a su primera pregunta, uno puede pensar de análisis no estándar, en una primera aproximación, ya que implica la existencia de números infinitesimales como se escriba, pero para ser más precisos, habría que elaborar más. Me gusta pensar en términos de tres enfoques (otros editores pueden estar en desacuerdo), de la siguiente manera:
(1) el enfoque más sencillo (en mi opinión) es a través de la construcción de un campo adecuado de la extensión de $\mathbb R^\star$ (notación varía, pero sigamos con esto que se utiliza en Keisler el libro, ver http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html) de la real campo de $\mathbb R$. Esta extensión de campo puede ser construido de una manera similar a la construcción de $\mathbb R$ de los racionales $\mathbb Q$. Es decir, se comienza con secuencias de números reales, presenta una adecuada equivalencia, y se obtiene el hyperreal campo $\mathbb R^\star$ como el cociente. Esta construcción se llama la ultrapower de la construcción. Una seria de pregrado curso de álgebra proporciona suficientes antecedentes para entender esta construcción; es decir, lo que se requiere es la existencia de un cierto máximo ideal en un anillo.
(2) Una más sofisticada de la ruta (y el realizado por Robinson en su libro de 1966, ver http://www.google.co.il/books?id=OkONWa4ToH4C&source=gbs_navlinks_s) es invocar el teorema de compacidad de la lógica matemática (más específicamente, el modelo de la teoría) para probar la existencia de una $\mathbb R^\star$ (en Robinson libro este es denotado $^\star\mathbb R$).
(3) Edward Nelson enfoque, llamado IST (interna de la teoría de conjuntos) es una reformulación de Robinson enfoque en el que, en lugar de ampliar el campo de $\mathbb R$, Nelson toma la "sintáctico" de la ruta. Esto significa que el lenguaje ordinario de la teoría de conjuntos es enriquecido por la adición de un predicado unario "Estándar". Luego infinitesimals se encuentran dentro de la "ordinaria" $\mathbb R$ sí; por así decirlo que han estado allí todo el tiempo, es sólo que no hemos dado cuenta (porque el ordinario de la sintaxis de la teoría de conjuntos no es lo suficientemente rico). Un número infinitesimal NO es "Estándar".
Los tres enfoques son equivalentes (por lo menos en un nivel básico), así lo demuestra el mismo teoremas en todos ellos. No hay nuevos axiomas son necesarios más allá de los de ZFC. Ya que la respuesta es llegar a ser largo, voy a dejar por ahora.
