Mi lectura de su objeción es ligeramente diferente de anon, así que he pensado que me gustaría ofrecer otra respuesta. Si he entendido bien, lo que están diciendo es que, mientras que $k=b^2$ sería sin duda contradicen la declaración de
(1) "$k$ no es un cuadrado perfecto",
no contradice la declaración de
(2) "$c$ es un entero positivo implica que $k$ no es un cuadrado perfecto"
desde $k=b^2$ fue derivado bajo el supuesto de que $c=0$.
Mi respuesta a esto es que realmente es (1) y no (2) que es asumida en las dos pruebas que mencionas. De hecho, ni siquiera estoy seguro de donde se obtiene la idea de que las pruebas a hacer la hipótesis de que la $c$ es un entero positivo. Es simplemente la otra "root"; no hay ninguna razón por $(c,b)$ debe ser un elemento de $S(k)$ o, de hecho, ¿por qué $c$ debe satisfacer cualquier propiedad que no sea la de ser una raíz. De hecho, $c$ es inicialmente ni siquiera supone que para ser un entero, de lo contrario, ¿por qué la necesidad de invocar Vieta fórmulas? En ambas pruebas, finalmente sobreviene la que $c$ es un entero positivo, y que, por ende,$(c,b)\in S(k)$, pero nada como esto se supone que al principio.
Me gustaría añadir que, si estaban en lo correcto, que las pruebas fueron asumiendo $c$ a ser positivo, entonces no habría ninguna necesidad de demostrar $c\ne0$ en el primer lugar, puesto que ya sería cierto, por supuesto.
Por último, me gustaría señalar que la definición de "número natural" para incluir tanto a cero y los enteros positivos no alteren sustancialmente el argumento general. El objetivo es demostrar que los conjuntos de $S(k)$ están vacías si $k$ no es un cuadrado perfecto. Si $S(k)$ para los no-perfecto-cuadrado de $k$ está vacía cuando los números naturales se definen a ser positivo, es todavía vacío, cuando se definen para incluir el cero. La razón es que dejando $a$ y/o $b$ igual a cero en la expresión de $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ claramente los resultados en un cuadrado perfecto. Por lo tanto, el extra de pares ordenados en el que uno de los dos de $a$ $b$ es cero toda la mentira en $S(k)$ que $k$ es un cuadrado perfecto.
No sé si la ampliación de la definición de número natural a ser cero, haría la prueba más clara o más aceptable para usted, pero si, no hay nada de malo en hacerlo.
Adenda en respuesta a OP respuesta: Es algo que se omiten en este texto?
Así que supongo que aquí es por qué creo que aunque claramente si $c=0$ $k=b^2$ es, obviamente, un cuadrado, análoga a la del argumento con el resto de la prueba que acabamos de dar, a continuación, $(c,b)\not\in S(k)$ no se contradice con que $k$ tal que $ab+1|a^2+b^2$ $a,b\in\mathbb{N}$ desde $c\not\in\mathbb{N}$.
Por mi lectura no debe ser otro verbo o frase después de "que" y antes de
"puesto que". Voy a tratar de dar una respuesta de todos modos, ya que creo que la confusión viene de la creencia de que hay algunos de nivel superior los supuestos que se toman respecto a $c$, cuando en realidad no lo son. Nos imponen un nivel superior los supuestos en $a$$b$. Pero $c$ es no algún objeto tomado de el universo de los objetos de la satisfacción de los mismos supuestos como $a$$b$; es sólo un número determinado por $a$ $b$ a través de una ecuación cuadrática. (Al final resulta que, en la primera vinculada a prueba, que $c$ cumple con todos los supuestos que $a$ hace, excepto que es menos de $b$. Esto, sin embargo, es una deducción, no es un requisito impuesto.)
Para recapitular: nuestro objetivo es demostrar que no existen números naturales $a$ $b$ tal que $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ es un entero, pero no cuadrado perfecto. El nivel superior de la suposición de que las dos citadas pruebas hacer, en busca de una contradicción, es que no son tales,$a$$b$,$a\ge b$. El valor de $k$ es fijado por $a$$b$, como $k$ es un número fijo en la tercera prueba que usted ofrece. Ya en este punto de la prueba, $a$, $b$, y $k$ son sólo números fijos, entonces podemos hablar acerca de las propiedades de los fijos polinomio $x^2-kbx+b^2-k$. En particular, podemos hablar de sus otros raíz de $c$, que también es fijo, ya que está totalmente determinado por el polinomio. Una propiedad de $c$ que podemos deducir es que es distinto de cero, ya que, si fueron de cero, lo que estaría en contradicción con una conocida propiedad de la número fijo $k$, es decir, que no es un cuadrado perfecto.
En general creo que puede haber alguna incomodidad con las pruebas por la contradicción, especialmente si usted sabe pruebas alternas o tener un buen entendimiento de la estructura del objeto bajo estudio. Esta inquietud viene porque usted puede, antes de llegar a la deseada contradicción, encuentro las declaraciones que no concuerdan con los de otros conocimientos que usted tiene. Usted puede sentir que estas declaraciones invalidar la prueba. La cura para este a suspender la incredulidad de los fines de la prueba. Usted no puede permitir que otro conocimiento en si usted está tratando de reprobar la declaración de los primeros principios. En realidad, es completamente espera que si, en busca de una contradicción, usted asume la existencia de soluciones que resultan ser imposible, encontrar en el trabajo que estas soluciones imposibles tienen propiedades incompatibles con los de las soluciones posibles. Operativo en la suspensión de la incredulidad modo, sin embargo, las inconsistencias no debería ser considerado manifiestan hasta que te las arreglas para llegar a una declaración claramente en contradicción con los supuestos internos para la prueba.
Anexo II: Mientras yo estoy corrigiendo algunos errores tipográficos, me quedo con uno más puñalada en la elaboración de este claro. Dado los números de $a$$b$, los números de $k$ $c$ ($k$ por su definición, $c$ por Vieta de la fórmula). Si se han hecho conjeturas acerca de $a$$b$, usted puede ser capaz de concluir algo acerca de $k$$c$. En tanto el primero vinculado a prueba y la tercera prueba - el que usted describe en su respuesta - suponemos que $a\ge b$, $a$ $b$ son positivos (tomando anon de la corrección a la tercera prueba) enteros, y que $a$ $b$ son tales que $k$ es un número entero. Estos supuestos implican que $c$ es un número entero no negativo.
En la primera vinculada a prueba, suponemos además que $a$ $b$ son tales que $k$ no es un cuadrado perfecto. De más esta hipótesis se deduce que $c\ne 0$. En la tercera prueba, hay un diferente además de la asunción, a saber, que $b$ es positivo y mínimo. A partir de este diferente además de la asunción llegamos a la conclusión de que $c=0$. Diferentes supuestos adicionales llevar a diferentes conclusiones sobre el valor de $c$.
