¿Por qué el núcleo de este extraño homomorfismo polinómico es el que es?

Question

He intentado profundizar un poco más en el álgebra lineal, pero no sigo algo que creo que es obvio.

Supongamos que $M_{m,n}(\mathbb{C})$ es el conjunto de rectángulos $m\times n$ matrices sobre $\mathbb{C}$ y que $S$ sea el conjunto de rango $1$ matrices. Además, dejemos que $K\subset\mathbb{C}[S_{11},\dots,S_{mn}]$ sea el ideal asociado a $S$ . Entonces el homomorfismo $\mathbb{C}[S_{11},\dots,S_{mn}]\to\mathbb{C}[X_1,\dots,X_m,Y_1,\dots,Y_n]$ tal que $S_{ij}\mapsto X_iY_j$ tiene un núcleo $K$ .

No sigo la última afirmación. Estoy acostumbrado al ideal asociado de $S$ para ser los polinomios en $\mathbb{C}[S_{11},\dots,S_{mn}]$ es el ideal de polinomios que desaparecen en todos los puntos de $S$ para un conjunto algebraico de ceros, pero eso no tiene mucho sentido con un conjunto de rango $1$ matrices. ¿Sería alguien tan amable de explicar por qué el núcleo de arriba es el que es? Gracias.

Answer 1

Creo que parte del problema proviene de tus anotaciones, que me tomaré la libertad de cambiar.

Recordemos que una matriz $M=(a_{ij})\in M_{l,n}(\mathbb C)$ corresponde a un mapa lineal $\mu:\mathbb C^n\to \mathbb C^l$ y que $\mu$ será de rango $\leq 1$ si $M=a\cdot b^T$ para algunos vectores columna $a\in \mathbb C^l$ , $b\in \mathbb C^n $ .

De ahí que el mapa $f:\mathbb C^l\times \mathbb C^n \to M_{l,n}(\mathbb C): (a,b)\mapsto a\cdot b^T=(a_ib_j)$ tiene como imagen exactamente el conjunto $S\subset M_{l,n}(\mathbb C)$ de matrices de rango $\leq 1$ .
Podemos ver $f$ como el morfismo de espacios afines correspondiente al $\mathbb C$ -morfismo de álgebra de anillos polinómicos $\phi: \mathbb C[z_{ij}] \to \mathbb C[x_i;y_j]\ :z_{ij} \mapsto x_i y_j$ .

La afirmación que se quiere es entonces que el ideal de polinomios en $I(S)\subset \mathbb C[z_{ij}]$ que consiste en los polinomios que desaparecen en $S=\operatorname{Im}(f)$ es $\ker(\phi)$ , de acuerdo con la correspondencia básica en geometría algebraica entre morfismos de anillos y morfismos asociados de variedades.