¿Cuál es la menor prime $p$ de manera tal que el siguiente primo es mayor que $p+2000\ $?

Question

He estudiado este sitio

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

y se preguntó si los primos más pequeños brecha mayor que $2000$ puede todavía ser determinado, en otras palabras :

Que es el más pequeño de prime $p$, de tal manera que $q-p>2000$ donde $p$ $q$ son números primos consecutivos ?

Claramente, $1.4\times 10^{18}$ es un límite inferior para $p$, mientras que el calculado primer lagunas espectáculo.

He tratado de estimar la magnitud de los primos más pequeños de la brecha con diferencia $2002$, pero el útil estimaciones se refieren a la definición de $g_n=p_{n+1}-p_n$. No pude estimar el resultado deseado con las estimaciones para $g_n$ y creo que son demasiado grandes.

Un ejemplo con $61$ dígitos es $$p=149\# \times 1290 \ + \ 8849$$

s=prod(j=1,35,prime(j))*1290+8849;t=nextprime(s+1);print(isprime(s,2),"   ",is
prime(t,2),"    ",t-s,"    ",truncate(log(s)/log(10)+1))
1   1    2042    61

Answer 1

Me gustaría enmendar mi anterior (editado) estimación más conservadora: entre $1.97\times 10^{19}$ $7.02\times 10^{22},$ con el valor más probable de estar cerca de la $1.18\times 10^{21},$ basado exclusivamente en los datos de @del sueño enlace (o, equivalentemente, este uno), pero esto es altamente especulativo. Especulación basada en las siguientes observaciones:

cc={{0,2},{1,3},{3,7},{5,23},{7,89},{13,113},{17,523},{19,887},{21,1129},{33,1327},{35,9551},{43,15683},{51,19609},{71,31397},{85,155921},{95,360653},{111,370261},{113,492113},{117,1349533},{131,1357201},{147,2010733},{153,4652353},{179,17051707},{209,20831323},{219,47326693},{221,122164747},{233,189695659},{247,191912783},{249,387096133},{281,436273009},{287,1294268491},{291,1453168141},{319,2300942549},{335,3842610773},{353,4302407359},{381,10726904659},{383,20678048297},{393,22367084959},{455,25056082087},{463,42652618343},{467,127976334671},{473,182226896239},{485,241160624143},{489,297501075799},{499,303371455241},{513,304599508537},{515,416608695821},{531,461690510011},{533,614487453523},{539,738832927927},{581,1346294310749},{587,1408695493609},{601,1968188556461},{651,2614941710599},{673,7177162611713},{715,13829048559701},{765,19581334192423},{777,42842283925351},{803,90874329411493},{805,171231342420521},{905,218209405436543},{915,1189459969825483},{923,1686994940955803},{1131,1693182318746371},{1183,43841547845541059},{1197,55350776431903243},{1219,80873624627234849},{1223,203986478517455989},{1247,218034721194214273},{1271,305405826521087869},{1327,352521223451364323},{1355,401429925999153707},{1369,418032645936712127},{1441,804212830686677669},{1475,1425172824437699411}}

With[{c = 4}, ListLinePlot[{(Sqrt@# & /@ (Transpose@cc)[[1]]), -Log[ 
Log[RiemannR@N[#] - Sqrt@#]/#] & /@ ((Transpose@cc)[[2]]), (#/
2 + c & /@ Range@(2 Sqrt@2000)), (#/2 - c & /@ Range@(2 Sqrt@2000)), (#/2 
& /@ Range@(2 Sqrt@2000))}, FillingStyle -> {Directive[{Opacity[.25], 
ColorData[97, "ColorList"][[1]]}]} , PlotStyle -> {{}, {}, {Opacity[0]}, 
{Opacity[0]}, {Darker@Blue, Thin, Dashed}}, Filling -> {3 -> {4}}, 
Frame -> True, PlotRange -> {{Automatic, Automatic}, {0, Automatic}}]]

x /. With[{c = 4}, Table[FindRoot[-Log[Log[-Sqrt@x + RiemannR@N[x]]/
    x] == (#/2 + cc &@(2 Sqrt@2000)), {x, 1000}], {cc, {-c, 0, c}}]]

(*{1.96873*10^19, 1.18074*10^21, 7.02452*10^22}*)

Este es, por supuesto, una enorme área de búsqueda, pero es como en forma especulativa más ajustado posible, yo creo que, a la vista de los datos conocidos hasta la fecha. Yo debo de ser bastante sorprendido si el valor está significativamente fuera de estos límites. Si usted encuentra cualquier cosa, yo debería estar interesado en los resultados que se logren. De todos modos, debería dar bastante de los límites razonables en la que buscar.

Actualización

En responsse a @DanaJ el comentario de abajo, de probada primera occurrances, por supuesto, usted tendrá que iniciar la búsqueda en la $4\times10^{18},$, ya que es la actual búsqueda exhaustiva de límite. El límite superior es, a continuación, $\approx 8.247\times 10^{32}$ ver aquí.

Sin embargo, yo soy no puede encontrar ninguna razón para pensar que el mérito será tan bajo como $\approx 35,$ a pesar de corriente max méritos conocidos. Graficando el valor de aumento de méritos para la primera conocida occurrances:

ListLinePlot[{Transpose@{Sqrt@cc[[All, 1]], 
N[#[[1]]/Log@#[[2]]] & /@ cc}, # - Sqrt@# & /@ Range@Sqrt@2000, # & /@ 
Range@Sqrt@2000, # - (Sqrt@#)/2 & /@ Range@Sqrt@2000}, 
FillingStyle -> {Directive[{Opacity[.25], 
ColorData[97, "ColorList"][[1]]}]}, PlotStyle -> 
{{Darker@ColorData[97, "ColorList"][[1]]}, {Opacity[0]}, 
{Opacity[0]}, {Darker@Blue, Thin, Dashed}, {Opacity[0]}}, 
Filling -> {3 -> {4}, 2 -> {4}}, Frame -> True]

muestra muy clara de estadística de las tendencias que sugieren que el mérito en $g_n\geq 2000$ rendimientos similares estimado de los límites que se da en la primera parte de la respuesta, pero usando métodos completamente diferentes, con las siguientes mérito min, espera & max estimaciones:

N@{# - Sqrt@# &@Sqrt@2000, # - Sqrt@#/2 &@Sqrt@2000, # &@Sqrt@2000}
(*{38.034, 41.3777, 44.7214}*)

dando estima primer rangos de

Flatten[x /. NSolve[2000/Log[x] == #, x] & /@ Reverse@{# - Sqrt@# 
&@Sqrt@2000, # - Sqrt@#/2 &@Sqrt@2000, # &@ Sqrt@2000}]

(*{2.64387*10^19, 9.81156*10^20, 6.8738*10^22}*)

los que están en claro acuerdo con las estimaciones iniciales.

Por supuesto, uno podría ser un poco más conservador con estas estimaciones, pasando por algo parecido

Flatten[x /. NSolve[2000/Log[x] == #, x] & /@ Reverse@{# - (Sqrt@# + 
Log@Log@#) &@ Sqrt@2000, # - (Sqrt@# + Log@Log@#/4)/2 &@
Sqrt@2000, # + Log@Log@# &@Sqrt@2000}] 

(*{7.23125*10^18, 1.19329*10^21, 4.65612*10^23}*)

pero estoy casi seguro que no creo que sea necesario ir tan alto como $6.9\times 10^{24}.$ Sólo el tiempo lo dirá, por supuesto, y la velocidad a la reaseach en esta área y la tecnología para apoyar el se va, yo no creo que tenga demasiado tiempo para esperar antes de obtener una respuesta definitiva a la pregunta :)

Answer 2

No ir todo el camino hasta el año 2000, pero soluciona el problema. Al parecer es difícil de hacer de forma exhaustiva. Sólo se ha hecho para los números primos menores de $10^{18}$ y la brecha que encontró es $1476$

http://primerecords.dk/primegaps/maximal.htm