¿Cómo puede Radon-Nikodym y Borel-Cantelli ser utilizados para calcular la distribución de Probabilidad?

Question

Deje $\zeta=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\,\omega_{n}$ donde $\omega_{n}$ son independientes, $\mathbb{P}(\omega_{n}=1)=p\neq\frac{1}{2}$ . También se $\mathbb{P}(\omega_{n}=0)=1-p$ todos los $n\geq1$ . Quiero mostrar que la distribución de $\zeta$ no tiene una densidad, el uso de Radon-Nikodym y Borel-Cantelli Lema.

1. Radon-Nikodym establece una conexión entre la distribución de probabilidad y función de densidad de probabilidad. Una distribución de probabilidad existe si y sólo si la probabilidad de medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Para mostrar que la probabilidad de medida $Pr$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue $\mu$, primero tenemos que darnos cuenta de que hay una correspondencia uno a uno entre las funciones de distribución de probabilidad y la probabilidad de medida sobre la línea real. Por lo tanto, para algún subconjunto $A$ sobre la recta real, es suficiente para nosotros para mostrar que $Pr(A)$$\geq$ $\mu(A)$, de modo que la continuidad absoluta no se sostiene y la densidad no existe.

Así, la escritura de la distribución de probabilidad de la suma parcial $\zeta=\sum_{n=1}^{N}2^{-n}\,\omega_{n}$ $=$ $\sum_{m=1}^{N}(1-p)^{m}p^{N-1-m}\left(\sum_{\beta\in\{_{N-1}C_{m}\}}\Pr\left(2\omega_{1}\leq(j-\beta)\right)\right)$, donde $\beta$ es sólo una combinación diferente en los indicies de la suma de $\sum 2^{-n}$.

Tengo la sospecha de Borel-Cantelli debe ser útil para controlar la infinita suma tal vez? Estoy un poco perdido, pero agradecería cualquier consejo. Gracias!

Answer 1

Esto es para demostrar que la distribución de $\zeta$ no tiene densidad.

Comenzamos con una definición de la diádica de expansión de un número real en $S=[0,1)$. Deje $s:S\to S$ $b_1:S\to\{0,1\}$ ser definido por $s(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor$ $b_1(x)=[x\geqslant\frac12]$ por cada $x$$S$. Para cada $n\geqslant1$, vamos a $b_{n+1}=b_n\circ s$.

Por ejemplo, $b_3$ es el indicador de la función del conjunto $[\frac18,\frac14)\cup[\frac38,\frac12)\cup[\frac58,\frac34)\cup[\frac78,1)$.

Entonces, uno puede comprobar que $x=\sum\limits_{n\geqslant1}b_n(x)2^{-n}$ $b_n(x)\in\{0,1\}$ por cada $n\geqslant1$.

A continuación, para cada $p$$(0,1)$, se introduce el conjunto de $B_p$ de los números reales $x$ $S$ de manera tal que la secuencia de $\frac1n\sum\limits_{k=1}^nb_k(x)$ converge al $n\to\infty$ y tiene un límite de $p$. Obviamente, los conjuntos de $B_p$ son Borel medible y discontinuo.

Aplicamos esto a nuestro entorno. Para cada $p$$(0,1)$, considerar la distribución de $\mu_p$ de la correspondiente variable aleatoria $\zeta=\sum\limits_{n\geqslant1}\omega_n2^{-n}$. Uno ve que $\omega_n=b_n(\zeta)$ casi seguramente (con la excepción de al $\zeta$ es un diádica racional, que es un evento nulo). Por la fuerte ley de los grandes números, ya que la secuencia de $(\omega_n)_n$ es yo.yo.d. De Bernoulli con parámetro $p$, $\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\omega_k$ converge casi seguramente a $\mathrm E(\omega_1)=p$ al$n\to\infty$, $\zeta$ $B_p$ casi seguramente. Finalmente:

Para cada $p$ en $(0,1)$, $\mu_p(B_p)=1$ y los conjuntos de $B_p$ son distintos por lo tanto $(\mu_p)$ es una colección de mutuo singular medidas.

En particular, para cada $p\ne\frac12$ en $(0,1)$, $\mu_p$ es singular con respecto a $\mu_{1/2}$. Desde $\mu_{1/2}$ es la medida de Lebesgue en $S$, cuando se $(\omega_n)_n$ es yo.yo.d. De Bernoulli con parámetro de $p\ne\frac12$, la distribución de $\zeta$ no tiene la densidad con respecto a la medida de Lebesgue (y se puede demostrar que $\mu_p$ no tiene ninguna pieza suelta).