Cirugía y homología: una petición de referencia

Question

Necesito una referencia (o una breve prueba) para la siguiente afirmación:

Supongamos un colector cerrado $N$ es el resultado de una cirugía (a lo largo de una esfera incrustada) en una variedad cerrada $M$ . Entonces la diferencia $\sum dim H_i(N) - \sum dim H_i(M)$ (la homología se toma con coeficientes en un campo) es como máximo 2.

Answer 1

Decir que un colector liso y cerrado $N$ se obtiene operando a lo largo de una esfera (enmarcada) en $M$ es decir que hay un cobordismo $P$ de $M$ a $N$ y una función Morse $f\colon P\to [0,1]$ con $f^{-1}(0)=M$ , $f^{-1}(1)=N$ y exactamente un punto crítico $c$ . Por la teoría de Morse, $H_*(P,M)$ es entonces unidimensional, generado por el disco descendente de $c$ . Igualmente, $H_*(P,N)$ es unidimensional, generado por el disco ascendente de $c$ .

Por la secuencia exacta de homología del par $(P,M)$ , $\dim H_*(M)$ difiere de $\dim H_*(P)$ por $1$ . Por la secuencia exacta de homología del par $(P,N)$ , $\dim H_*(N)$ también difiere de $\dim H_*(P)$ por $1$ . Por lo tanto, $|\dim H_*(M) - \dim H_*(N)|$ es $0$ o $2$ .